Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=2 x y i-3 x j
C: r(t)=3 t i-t j 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCFcdot dr onde F(x,y,z)=2xy,i-3x,j e C é a curva paramétrica r(t)=(3t,-t,0), para 0<= t<=1. Vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial via parametrização.

Passo 2

Avaliar F ao longo da curva, substituindo x=3t, y=-t, z=0:
F(r(t)) =2,(3t),(-t),i-3,(3t),j =-6t^2,i-9t,j

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização:
r'(t) =l(3,,-1,,0r)

Passo 4

Formar o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
(-6t^2,,-9t,,0)cdot(3,-1,0) =-6t^2cdot3+(-9t)cdot(-1) =-18t^2+9t

Passo 5

Integrar de 0 a 1:
integral0^1l(-18t^2+9tr),dt =[-6t^3+tfrac92t^2]0^1 =-6+tfrac92 =-tfrac32

Resposta

O valor da integral de linha é -tfrac32.

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