Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial
não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (
).
(c) Encontre a solução de
que passa pelo ponto ( 0,0 ).
(b) Encontre a solução geral de (
(c) Encontre a solução de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que podemos reescrever em forma diferencial exata como
onde
O conteúdo principal é teste de exatidão, fator integrante e solução de equação exata. Vamos primeiro verificar a exatidão e depois achar o fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
dependente só de
, usamos a condição
Integrando,
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora esta é exata, pois
Passo 5
Procuramos
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
,
ou seja
. Logo a solução implícita geral é
com
constante arbitrária.
Passo 6
Para a condição inicial
, temos
Portanto a solução que passa por
fica
Resposta
A) A equação não é exata porque
, e de
segue
.
B) A solução geral implícita é
B) A solução geral implícita é
C) Impõe
, logo