Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sin y+x3 cos y y^prime=0 (* * *)
(a) Mostre que a equação diferencial ( ^* * *) não é exata e que mu(x)=x^2 é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de ( ^* * * ).
(c) Encontre a solução de ( ^* * *) que passa pelo ponto ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^x^3+sin y+x3cos y,y'=0
que podemos reescrever em forma diferencial exata como
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
onde
M(x,y)=e^x^3+sin y, N(x,y)=x3cos y
O conteúdo principal é teste de exatidão, fator integrante e solução de equação exata. Vamos primeiro verificar a exatidão e depois achar o fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=cos y, partial Npartial x=13cos y
Como cos yneq13cos y em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(x) dependente só de x, usamos a condição
dlnmudx =partial Mpartial y-partial Npartial xN =cos y-tfrac13cos ytfracx3cos y =tfrac23cos ytfracx3cos y =2x
Integrando,
lnmu(x)=integral 2x,dx=2ln x Longrightarrow mu(x)=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^2, obtendo
l(x^2e^x^3+x^2sin yr),dx +l(tfracx^33cos yr),dy=0
Agora esta é exata, pois
partialpartial y(x^2e^x^3+x^2sin y) =x^2cos y e partialpartial xl(tfracx^33cos yr) =x^2cos y

Passo 5

Procuramos Phi(x,y) tal que
Phix=x^2e^x^3+x^2sin y, Phiy=tfracx^33cos y
Integramos Phix em x:
Phi(x,y) =integral x^2e^x^3,dx+integral x^2sin y,dx =13e^x^3+x^33sin y+h(y)
Derivando em y,
Phiy =x^33cos y+h'(y) stackrel!=x^33cos y Longrightarrow h'(y)=0,
ou seja h(y)=C. Logo a solução implícita geral é
13e^x^3+x^33sin y=C Long<=ftrightarrow e^x^3+x^3sin y=K,
com K=3C constante arbitrária.

Passo 6

Para a condição inicial (x,y)=(0,0), temos
e^0+0cdotsin0=1=K
Portanto a solução que passa por (0,0) fica
boxede^x^3+x^3sin y=1

Resposta

A) A equação não é exata porque partial M/partial y=cos yneqtfrac13cos y=partial N/partial x, e de
partial M/partial y-partial N/partial xN=2x
segue mu(x)=x^2.
B) A solução geral implícita é
e^x^3+x^3sin y=K
C) Impõe e^0+0=1, logo
e^x^3+x^3sin y=1

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