Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=2 x y i+(x-2 y) j
C: r(t)=sin t i-2 cos t j 0 <= t <= pi

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
do campo vetorial
F(x,y,z)=2xy,i+(x-2y),j
ao longo da curva C parametrizada por
r(t)=(sin t,,-2cos t), 0<= t<=pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que vamos resolver por parametrização.

Passo 2

Parametrizamos as componentes:
x(t)=sin t,
y(t)=-2cos t

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=(x'(t),,y'(t))=(cos t,;2sin t)

Passo 4

Substituímos na definição do campo:
Fx(t)=2,x(t),y(t)=2sin tcdot(-2cos t)=-4sin tcos t,
Fy(t)=x(t)-2,y(t)=sin t-2(-2cos t)=sin t+4cos t

Passo 5

O produto escalar fica
F(t)cdotr'(t) =-4sin tcos tcdotcos t+(sin t+4cos t)cdot2sin t =-4sin tcos^2 t+8sin tcos t+2sin^2 t

Passo 6

Integramos de 0 a pi, separando em três partes:
I1=-4integral0^pi sin tcos^2 t,dt, I2=8integral0^pi sin tcos t,dt, I3=2integral0^pi sin^2 t,dt
Para I1 fazemos u=cos t, obtendo
I1=-4integral0^pi sin tcos^2 t,dt =4integral1^-1u^2,du =-83
Para I2 usamos sin tcos t=tfrac12sin2t e achamos I2=0.
Para I3 usamos sin^2 t=tfrac1-cos2t2 e obtemos I3=pi.
Somando tudo:
integralCFcdot dr =I1+I2+I3 =pi-83

Resposta

pi - 83

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