Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
& F(x, y, z)=x y i-y^2 j & C: r(t)=t^2 i-t^3 j
do ponto (1,1) até o ponto (4,-8)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=x,y,i-y^2,j
e a curva é dada pela parametrização
r(t) = l(t^2,,-t^3r)
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, então vamos precisar (a) achar os valores de t que correspondem aos pontos iniciais e finais, (b) calcular r'(t) e F(r(t)), (c) montar o integrando F(r(t))cdotr'(t) e (d) integrar de t1 a t2.

Passo 2

Precisamos dos parâmetros t1 e t2 tais que
r(t1)=(1,1), r(t2)=(4,-8)
Da primeira igualdade t^2=1 e -t^3=1 segue t1=-1.
Da segunda t^2=4 e -t^3=-8 segue t2=2.
Logo o parâmetro vai de -1 até 2.

Passo 3

Calculemos primeiro
r'(t) = l(2t,,-3t^2r)
Em seguida
F(r(t)) = l(x,y,,-y^2r)l|x=t^2,,y=-t^3 = l(-t^5,,-t^6r)
O produto escalar fica
F(r(t))cdot r'(t) = (-t^5)(2t)+(-t^6)(-3t^2) = -2t^6+3t^8

Passo 4

Montamos a integral em t:
integralCFcdot dr =integralt=-1^2 l(-2t^6+3t^8r),dt
Uma primitiva é
A(t) = integral l(-2t^6+3t^8r),dt = -27,t^7 + 13,t^9

Passo 5

Avaliaremos de -1 a 2:
A(2) = -27,2^7 + 13,2^9 = -2567 + 5123 = 281621,
A(-1) = -27(-1)^7 + 13(-1)^9 = 27 - 13 = -121
Então
integral-1^2(-2t^6+3t^8),dt = A(2)-A(-1) = 281621 - l(-121r) = 281721 = 9397

Resposta

9397

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