Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial
não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de
.
(c) Encontre a solução de
que satisfaz
.
(b) Encontre a solução geral de
(c) Encontre a solução de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
(a) mostrar que ela não é exata e que é um fator integrante;
(b) encontrar sua solução geral;
(c) aplicar a condição .
O conteúdo usado será: teste de exatidão, fator integrante que dependa só de , e integração de equação exata.
(a) mostrar que ela não é exata e que
(b) encontrar sua solução geral;
(c) aplicar a condição
O conteúdo usado será: teste de exatidão, fator integrante que dependa só de
Passo 2
Escrevemos no formato
com
Calculamos
como
, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
e
atinjam exatidão. Vê-se que
logo
Assim
. Multiplicando a equação original por
, temos a forma exata
com
e verifica-se que
.
Passo 4
Agora existe uma potencial
tal que
Integramos em
:
Para achar
, impomos
logo
e
. Assim
Passo 5
A solução geral (constante
) vem de
isto é,
Passo 6
Para a condição
, obtemos
logo
. A solução particular é