Considere a seguinte equação diferencial:
1x^3+e^yx+(e^y+1x y) y^prime=0
(a) Mostre que a equação diferencial ( ^* *) não é exata e que mu(x)=x é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de ( ^* *).
(c) Encontre a solução de ( ^* *) que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
1x^3+e^yx+l(e^y+1x yr),y'=0
e pede:
(a) mostrar que ela não é exata e que mu(x)=x é um fator integrante;
(b) encontrar sua solução geral;
(c) aplicar a condição y(1)=1.
O conteúdo usado será: teste de exatidão, fator integrante que dependa só de x, e integração de equação exata.

Passo 2

Escrevemos no formato M(x,y)+N(x,y),y'=0 com
M(x,y)=1x^3+e^yx, N(x,y)=e^y+1x y
Calculamos
partial Mpartial y =e^yx, partial Npartial x =-1x^2y,
como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procuramos mu(x) tal que mu M e mu N atinjam exatidão. Vê-se que
partial Mpartial y-partial Npartial x =e^yx+1x^2y, N=;e^y+1xy,
logo
partial M/partial y-partial N/partial xN =e^yx+1x^2y,e^y+1xy=1x
Assim mu(x)=exp!l(integral!1/x,dxr)=x. Multiplicando a equação original por x, temos a forma exata
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
com
M^*(x,y)=1x^2+e^y, N^*(x,y)=x,e^y+1y,
e verifica-se que partial M^*/partial y=partial N^*/partial x=e^y.

Passo 4

Agora existe uma potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =M^*(x,y)=1x^2+e^y
Integramos em x:
psi(x,y) =integrall(1x^2+e^yr),dx =-1x+x,e^y+h(y)
Para achar h(y), impomos
partialpsipartial y =x,e^y+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=x,e^y+1y,
logo h'(y)=1/y e h(y)=ln|y|. Assim
psi(x,y)=-1x+x,e^y+ln|y|

Passo 5

A solução geral (constante C) vem de
psi(x,y)=C,
isto é,
-1x+x,e^y+ln|y|=C

Passo 6

Para a condição y(1)=1, obtemos
-11+1cdot e^1+ln(1)= -1+e+0 = e-1,
logo C=e-1. A solução particular é
-1x+x,e^y+ln y = e-1

Resposta

boxed (a) A equação não é exata, e mu(x)=x é fator integrante; (b) solução >=ral: -1x+x,e^y+ln|y|=C; (c) com y(1)=1: -1x+x,e^y+ln y=e-1 çããééçã

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