Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=(x-y) i+(y+x) j, onde C é a circunferência x^2+y^2=4 a partir do ponto (2,0) no sentido contrario antihorário.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva C dada pela circunferência x^2 + y^2 = 4 orientada no sentido anti-horário a partir de (2,0), e o campo vetorial
F(x,y) = (x - y),i + (y + x),j.
Queremos calcular a integral de linha
integralC Fcdot dr,
que é um caso clássico em que podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

No plano, escrevemos F=(P,Q) com
P(x,y)=x-y, Q(x,y)=y+x
O Teorema de Green afirma que, para C a fronteira positiva de uma região D,
integralC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui D é o disco de raio 2.

Passo 3

Calculamos o rotacional escalar (a “curl” em 2D):
partial Qpartial x-partial Ppartial y = partialpartial x(y+x) - partialpartial y(x-y) = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Aplicando Green,
integralC Fcdot dr = integral duplaD 2,dA = 2 cdot área(D) = 2 cdot l(picdot 2^2r) = 8pi á

Resposta

8pi

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