Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=(x-2 y) i+x y j
C: r(t)=3 cos t i+2 sin t j 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC Fcdot dr
do campo vetorial
F(x,y,z)=(x-2y),i+xy,j
sobre a curva C parametrizada por
r(t)=(3cos t,,2sin t), 0<= t<=pi/2.
Este é um problema de cálculo vetorial: vamos usar parametrização de curva e produto escalar.

Passo 2

Escrevemos a integral de linha em função de t:
integralC Fcdot dr =integral0^pi/2Fl(r(t)r)cdotr'(t),dt

Passo 3

Como r(t)=(3cos t,2sin t), temos
r'(t)=(-3sin t,,2cos t)
Substituindo x=3cos t e y=2sin t em F(x,y),
F(r(t)) =l(3cos t-4sin t,;6cos t,sin tr)

Passo 4

O produto escalar é
F(r(t))cdotr'(t) =(3cos t-4sin t)(-3sin t) +(6cos t,sin t)(2cos t),
que se expande para
-9sin tcos t+12sin^2 t+12cos^2 t,sin t
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integralCFcdot dr =integral0^pi/2l(12sin^2 t-9sin tcos t+12sin tcos^2 tr)dt

Passo 5

Separamos em duas integrais:
I1=12integral0^pi/2sin^2 t,dt =12l[tfrac t2-tfracsin(2t)4r]0^pi/2 =12cdottfracpi4 =3pi
  1. Com a substituição v=sin^2 t, dv=2sin tcos t,dt,
I2=integral0^pi/2(12cos t-9)sin tcos t,dt =integral0^1l(6(1-v)-tfrac92r),dv =integral0^1(1,5-6v),dv =[1,5v-3v^2]0^1 =1,5-3 =-1,5
Somando I1+I2, obtemos
integralCFcdot dr =3pi-1,5

Resposta

boxed,3pi-tfrac32,

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