Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=2 x Cauchy-Euler

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x^2 y'' - x y' + y = 2x que é do tipo Cauchy-Euler. Esse tipo de equação aparece quando temos uma combinação das derivadas de uma função multiplicadas por potências de x . Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, x^2 y'' - x y' + y = 0 . Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = x^m , onde m é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Derivando y = x^m em relação a x , temos:
y' = m x^m-1
y'' = m(m-1) x^m-2

Passo 4

Substituindo y , y' e y'' na equação homogênea:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 - x cdot m x^m-1 + x^m = 0
Simplificando os termos:
m(m-1) x^m - m x^m + x^m = 0

Passo 5

Fatorando x^m :
x^m [m(m-1) - m + 1] = 0
Dentro dos colchetes:
m^2 - m - m + 1 = m^2 - 2m + 1

Passo 6

Então, a equação característica é:
m^2 - 2m + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
m = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1
Temos uma raiz dupla m = 1 .

Passo 7

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^1 + C2 x^1 ln x = C1 x + C2 x ln x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa x^2 y'' - x y' + y = 2x . Como o lado direito é 2x , tentamos uma solução da forma yp = A x , onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Calculando as derivadas de yp = A x :
y'p = A
y''p = 0

Passo 10

Substituindo yp , y'p e y''p na equação original:
x^2 cdot 0 - x cdot A + A x = 2x
Simplificando:
- A x + A x = 2x implies 0 = 2x
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma para yp .

Passo 11

Como yh já inclui x , tentamos multiplicar por ln x . Vamos supor yp = A x ln x .
Calculando as derivadas:
y'p = A ln x + A
y''p = Ax

Passo 12

Substituindo na equação original:
x^2 cdot Ax - x cdot (A ln x + A) + A x ln x = 2x
Simplificando cada termo:
A x - A x ln x - A x + A x ln x = 2x
Tudo cancela, novamente não funciona.

Passo 13

Vamos então tentar uma solução particular da forma yp = A x^m . Substituímos na equação e encontramos que m =1 já está na solução homogênea. Portanto, multiplicamos por ln x , mas já vimos que isso não funciona. Então tentamos yp = A x ln^2x .
Calculando as derivadas:
y'p = A (2 ln x cdot 1x cdot x + ln^2 x)
y''p = A ( 2x - 2 ln xx^2 + 2 ln xx^2 )

Passo 14

Após simplificar e substituir na equação original, encontramos A = 1 . Portanto, a solução particular é:
yp = x ln^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x + C2 x ln x + x ln^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados