Resolva as seguintes equações diferenciais:
Cauchy-Euler
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
que é do tipo Cauchy-Euler. Esse tipo de equação aparece quando temos uma combinação das derivadas de uma função multiplicadas por potências de
. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Passo 5
Fatorando
:
Dentro dos colchetes:
Passo 6
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
.
Passo 7
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Passo 10
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma para
.
Passo 11
Como
já inclui
, tentamos multiplicar por
. Vamos supor
.
Calculando as derivadas:
Passo 12
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:
Tudo cancela, novamente não funciona.
Passo 13
Vamos então tentar uma solução particular da forma
. Substituímos na equação e encontramos que
já está na solução homogênea. Portanto, multiplicamos por
, mas já vimos que isso não funciona. Então tentamos
.
Calculando as derivadas:
Passo 14
Após simplificar e substituir na equação original, encontramos
. Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.