Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o limite
existe quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis, analisando o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto de interesse por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente
e
na função para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma
, o que sugere que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Mas precisamos analisar mais a fundo.
Passo 3
Vamos verificar se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
. Se obtivermos resultados diferentes seguindo caminhos distintos, então o limite não existe.
Primeiro, consideremos o caminho onde
. Substituindo na função:
Substituindo
:
Precisamos analisar mais detalhes desse caminho.
Passo 4
Vamos tentar simplificar a expressão original. Observe que o denominador pode ser fatorado:
Agora, tentamos fatorar o numerador
. Vamos procurar fatores que multiplicados deem esse polinômio:
Assumindo uma fatoração na forma
, ao expandir e comparar os coeficientes, podemos ver que o numerador não é facilmente fatorável com coeficientes inteiros simples. Isso sugere que a simplificação direta pode não ser a melhor abordagem.
Passo 5
Como a tentativa de fatoração não foi bem-sucedida, vamos analisar o comportamento do limite ao aproximar-se por diferentes caminhos.
Outro caminho comum é linear, por exemplo,
. Vamos escolher
e
para que, quando
,
.
Substituindo
na função:
Simplificando:
Continuando a simplificação pode ser complexo, mas o importante é notar que dependendo do valor de
, o comportamento pode mudar, indicando que o limite pode não ser o mesmo por todos os caminhos.
Resposta
Como o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
, o limite não existe.