Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar as curvas de nível da função
para os valores
e
. Isso entra no assunto de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas de nível. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da função e entender um pouco sobre equações de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Passo 4
Agora, distribuímos o
no lado direito:
Passo 5
Vamos expandir o termo
:
Passo 6
Agora, vamos reunir todos os termos no lado esquerdo da equação:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores de
um por um e simplificar as equações.
Para
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 8
Para facilitar, completamos o quadrado no termo de
:
Substituindo de volta:
Para
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Passo 9
Essa última equação para
é uma equação do segundo grau em
. Para encontrar as curvas de nível, resolvemos para
:
Isso significa que, para
, as curvas de nível são duas linhas verticais:
Resposta
As curvas de nível de
são:
- Para
: - Para
: e