Considere a função
f(x, y)=3(x-2)^2+5 y^2x^2+2 y^2+1
Determine sa curvas de nível de f para c=2 e c=52.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar as curvas de nível da função f(x, y) = 3(x-2)^2 + 5y^2x^2 + 2y^2 + 1 para os valores c = 2 e c = 52 . Isso entra no assunto de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas de nível. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da função e entender um pouco sobre equações de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) onde a função f(x, y) assume um valor constante c . Ou seja, queremos resolver a equação:
3(x-2)^2 + 5y^2x^2 + 2y^2 + 1 = c

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
3(x-2)^2 + 5y^2 = c(x^2 + 2y^2 + 1)

Passo 4

Agora, distribuímos o c no lado direito:
3(x-2)^2 + 5y^2 = c x^2 + 2c y^2 + c

Passo 5

Vamos expandir o termo 3(x-2)^2 :
3(x^2 - 4x + 4) + 5y^2 = c x^2 + 2c y^2 + c
3x^2 - 12x + 12 + 5y^2 = c x^2 + 2c y^2 + c

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos no lado esquerdo da equação:
3x^2 - c x^2 - 12x + 5y^2 - 2c y^2 + 12 - c = 0
Simplificando os coeficientes:
(3 - c)x^2 - 12x + (5 - 2c)y^2 + (12 - c) = 0

Passo 7

Vamos agora substituir os valores de c um por um e simplificar as equações.

Para c = 2 :

Substituindo na equação:
(3 - 2)x^2 - 12x + (5 - 4)y^2 + (12 - 2) = 0
Simplificando:
x^2 - 12x + y^2 + 10 = 0

Passo 8

Para facilitar, completamos o quadrado no termo de x :
x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36
Substituindo de volta:
(x - 6)^2 - 36 + y^2 + 10 = 0
(x - 6)^2 + y^2 - 26 = 0
(x - 6)^2 + y^2 = 26

Para c = 52 :

Substituindo na equação:
(3 - 52)x^2 - 12x + (5 - 2 times 52)y^2 + (12 - 52) = 0
Simplificando:
12x^2 - 12x + 0y^2 + 192 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:
x^2 - 24x + 19 = 0

Passo 9

Essa última equação para c = 52 é uma equação do segundo grau em x . Para encontrar as curvas de nível, resolvemos para x :
x = 24 pm raiz24^2 - 4 times 1 times 192
x = 24 pm raiz576 - 762
x = 24 pm raiz5002
x = 12 pm 5raiz5
Isso significa que, para c = 52 , as curvas de nível são duas linhas verticais:
x = 12 + 5raiz5 e x = 12 - 5raiz5

Resposta

As curvas de nível de f são:
  • Para c = 2 : (x - 6)^2 + y^2 = 26
  • Para c = 52 : x = 12 + 5raiz5 e x = 12 - 5raiz5

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