Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
ll F(x, y, z) & =z i+x j+y k C: y & =a cos t i+a sin t j+t k 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z)=z,i+x,j+y,k
e a curva C está parametrizada por
r(t)=acos t,i+asin t,j+t,k, 0<= t<=2
O método é usar a parametrização:
integralCFcdot dr=integral0^2F(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Calcular a derivada
r'(t)=l(-asin t,;acos t,;1r)

Passo 3

Avaliar F ao longo de r(t):
F(r(t))=underbracez=t,i+underbracex=acos t,j+underbracey=asin t,k =l(t,;acos t,;asin tr)

Passo 4

Formar o produto escalar
F(r(t))cdotr'(t) =tcdot(-asin t)+(acos t)cdot(acos t)+(asin t)cdot1 =-a,tsin t + a^2cos^2t + asin t
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integralCFcdot dr =integral0^2l(-a,tsin t + a^2cos^2t + asin tr),dt

Passo 5

Vamos separar em três integrais:
1. I1=-aintegral0^2tsin t,dt.
Por partes, com u=t, dv=sin t,dt Rightarrow du=dt, v=-cos t,
integral tsin t,dt=-tcos t+sin t,
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I1=-al[-tcos t+sin tr]0^2 =-al[-2cos2+sin2r] =2acos2 - asin2
2. I2=a^2integral0^2cos^2t,dt.
Usando cos^2t=tfrac12(1+cos2t),
integral0^2cos^2t,dt =integral0^2tfrac12,dt+integral0^2tfrac12cos2t,dt =22+sin44 =1+sin44,
então
I2=a^2l(1+sin44r)=a^2+a^2sin44
3. I3=aintegral0^2sin t,dt.
integral0^2sin t,dt =[-cos t]0^2 =1-cos2,
então
I3=a(1-cos2)=a - acos2
Somando I1+I2+I3, obtemos
integralCFcdot dr =(2acos2 - asin2) +l(a^2+tfraca^2sin44r) +(a - acos2)
Agrupando termos semelhantes:
integralCFcdot dr =a^2+a^2sin44 + acos2 + a - asin2

Resposta

boxed integralCFcdot dr = a^2 + a^2sin44 ;+; acos2 ;+; a ;-; asin2

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