Considere a função
f(x, y)=cc 2 x^2 y+4 y^32 y^2+x^2, & se (x, y) neq(0,0) -1, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (1 / 2,-1 / 2) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 2x^2y+4y^32y^2+x^2,&se (x,y)neq(0,0), -1,&se (x,y)=(0,0),
e pede o limite lim(x,y)to(tfrac12,-tfrac12)f(x,y). Como (tfrac12,-tfrac12)neq(0,0), basta verificar se o denominador se anula nesse ponto; se não, f é contínua ali e podemos substituir diretamente.

Passo 2

Calculamos o denominador em l(x,yr)=(tfrac12,-tfrac12):
2y^2 + x^2 =2l(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 =2cdottfrac14 + tfrac14 =tfrac12 + tfrac14 =tfrac34neq0
Logo, a função é contínua em (tfrac12,-tfrac12).

Passo 3

Agora avaliamos o numerador em l(x,yr)=(tfrac12,-tfrac12):
2x^2y + 4y^3 =2cdotl(tfrac12r)^2cdotl(-tfrac12r) +4cdotl(-tfrac12r)^3 =2cdottfrac14cdotl(-tfrac12r) +4cdotl(-tfrac18r) =-tfrac14 - tfrac12 =-tfrac34

Passo 4

Como a função é contínua naquele ponto, o limite é
numeradordenominador =-tfrac34tfrac34 =-1

Resposta

-1

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