Considere a função
f(x, y)=cc 2 x^2 y+4 y^32 y^2+x^2, & se (x, y) neq(0,0) -1, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função f(x, y) que é definida de forma diferente dependendo se o ponto (x, y) é igual a (0, 0) ou não. O que precisamos fazer aqui é calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) , ou seja:
lim(x, y) (0,0) f(x, y)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis, verificando se o limite existe ou não ao nos aproximarmos de diferentes caminhos em direção ao ponto (0, 0) .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para calcular o limite de uma função de duas variáveis, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto (0, 0) . Se encontrarmos diferentes valores ao seguir caminhos diferentes, isso significa que o limite não existe.
Vamos começar considerando caminhos simples, como y = 0 e x = 0 .

Passo 3

Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = 2x^2 cdot 0 + 4 cdot 0^32 cdot 0^2 + x^2 = 0 + 00 + x^2 = 0
Então, ao nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo x (onde y = 0 ), o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: x = 0
Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 2 cdot 0^2 cdot y + 4 y^32 y^2 + 0^2 = 0 + 4 y^32 y^2 = 4 y^32 y^2 = 2y
Agora, ao nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo y (onde x = 0 ), o limite é 2y . Quando y tende a 0, 2y também tende a 0.
Então, até aqui, ambos os caminhos nos dão o limite 0.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite é realmente 0, vamos verificar outro caminho, por exemplo, , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Podemos simplificar :
Agora, ao fazer tender a 0, todo o termo também tende a 0.
Então, independentemente do valor de , o limite seguindo o caminho é 0.

Passo 6

Como vimos, seguindo diferentes caminhos (eixos x , eixo y , e linhas y = kx ), o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é sempre 0.
Isso sugere que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

lim(x, y) (0,0) f(x, y) = 0

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