Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=y x^2 i+(y+x) j, onde C é a parábola x^2=2 y a partir da origem até o ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z)=y,x^2,i+(y+x),j
e C é a parábola x^2=2y de (0,0) a (2,2).
O conteúdo aqui é parametrização de curva planeja e cálculo de integral de linha de um campo vetorial, envolvendo produto escalar e integração em uma variável.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t, y(t)=t^22, 0<= t<=2
Então
dr=(dx,dy)=(dt,;t,dt)

Passo 3

Substituímos na expressão de F:
F(t)=l(y,x^2,,y+xr) =l(tfract^22,t^2,;tfract^22+tr) =l(tfract^42,;tfract^22+tr)
O produto escalar é
F(t)cdot dr =t^42cdot1,dt+l(t^22+tr)cdot t,dt =l(t^42+t^32+t^2r)dt

Passo 4

Montamos a integral de t=0 a t=2:
integral0^2l(t^42+t^32+t^2r)dt =integral0^2t^42,dt+integral0^2t^32,dt+integral0^2t^2,dt
Calculando cada parte:
integral0^2t^42,dt =t^510|0^2 =3210=165,
integral0^2t^32,dt =t^48|0^2 =168=2,
integral0^2t^2,dt =t^33|0^2 =83

Passo 5

Somando os resultados:
165+2+83 =48+30+4015 =11815

Resposta

integralCFcdot dr=11815

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