Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (0,0) x^3 y^35 x^4+3 y^12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, (x, y) , que está se aproximando de (0,0) . O objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o valor. A função que estamos analisando é:
lim (x, y) (0,0) x^3 y^35 x^4+3 y^12
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como análise de limites e verificação se o resultado é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a (0,0) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite de uma função de duas variáveis. Diferente de funções de uma variável, aqui precisamos garantir que o valor do limite seja o mesmo se a gente se aproximar de (0,0) por qualquer caminho: por exemplo, ao longo do eixo x, do eixo y, ou por uma curva qualquer.

Passo 3

Uma estratégia comum é tentar simplificar a expressão e ver se conseguimos encontrar uma forma de limitar o valor absoluto da função. Vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente.
Numerador: x^3 y^3
Denominador: 5 x^4 + 3 y^12
Queremos que a fração se aproxime de um número específico quando x e y se aproximam de zero.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x e y tendem a zero.
  • O numerador x^3 y^3 tende a zero, porque multiplicar dois números que vão para zero ainda dá zero.
  • O denominador 5 x^4 + 3 y^12 também tende a zero, já que ambos os termos vão para zero.
Então, estamos lidando com uma indeterminação do tipo 00 , o que significa que precisamos investigar mais a fundo.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um limite superior para o valor absoluto da função, usando desigualdades. Queremos mostrar que a função tende a zero.
Primeiro, pegamos o valor absoluto da função:
| x^3 y^35 x^4 + 3 y^12 |
Vamos avaliar os denominadores individualmente para encontrar um menor valor possível:
5 x^4 + 3 y^12 >= 5 x^4, e 5 x^4 + 3 y^12 >= 3 y^12
Portanto, podemos dizer que:
5 x^4 + 3 y^12 >= max(5 x^4, 3 y^12)

Passo 6

Agora, vamos usar essa desigualdade para encontrar um limite superior para a função.
Sabemos que:
| x^3 y^35 x^4 + 3 y^12 | <= |x|^3 |y|^3max(5 |x|^4, 3 |y|^12)
Para simplificar, vamos considerar duas situações:
  1. Quando 5 x^4 é maior que 3 y^12 , ou seja, 5 x^4 >= 3 y^12 .
  2. Quando 3 y^12 é maior que 5 x^4 , ou seja, 3 y^12 >= 5 x^4 .

Passo 7

Caso 1: 5 x^4 >= 3 y^12
Nesse caso, temos:
| x^3 y^35 x^4 + 3 y^12 | <= |x|^3 |y|^35 |x|^4 = |y|^35 |x|
Como x está se aproximando de zero, essa expressão pode crescer sem limite, o que não nos ajuda muito. Vamos para o próximo caso.
Caso 2: 3 y^12 >= 5 x^4
Aqui, temos:
| x^3 y^35 x^4 + 3 y^12 | <= |x|^3 |y|^33 |y|^12 = |x|^33 |y|^9
Nesse caso, à medida que y se aproxima de zero, |y|^9 também tende a zero, mas |x|^3 está no numerador, o que pode tornar essa expressão pequena.

Passo 8

Para assegurar que o limite seja zero, precisamos garantir que ambas as situações não causem comportamentos problemáticos. Vamos usar uma abordagem diferente: polar coordenadas.
Vamos definir:
x = r cos(theta), y = r sin(theta)
Onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo. À medida que r tende a zero, (x, y) se aproxima de (0,0) .

Passo 9

Substituindo x e y na função:
(r cos(theta))^3 (r sin(theta))^35 (r cos(theta))^4 + 3 (r sin(theta))^12 = r^6 cos^3(theta) sin^3(theta)5 r^4 cos^4(theta) + 3 r^12 sin^12(theta)
Podemos simplificar isso dividindo numerador e denominador por r^4 :
r^2 cos^3(theta) sin^3(theta)5 cos^4(theta) + 3 r^8 sin^12(theta)

Passo 10

Agora, vamos analisar o que acontece quando r tende a zero. O termo 3 r^8 sin^12(theta) no denominador tende a zero, então o denominador fica aproximadamente 5 cos^4(theta) .
Portanto, a expressão fica aproximadamente:
r^2 cos^3(theta) sin^3(theta)5 cos^4(theta) = r^2 sin^3(theta)5 cos(theta)

Passo 11

Agora, vemos que quando r tende a zero, r^2 também tende a zero. E como sin^3(theta) e cos(theta) são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o numerador tende a zero mais rápido do que o denominador.
Portanto, toda a expressão tende a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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