Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, , que está se aproximando de . O objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o valor. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como análise de limites e verificação se o resultado é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite de uma função de duas variáveis. Diferente de funções de uma variável, aqui precisamos garantir que o valor do limite seja o mesmo se a gente se aproximar de por qualquer caminho: por exemplo, ao longo do eixo x, do eixo y, ou por uma curva qualquer.
Passo 3
Uma estratégia comum é tentar simplificar a expressão e ver se conseguimos encontrar uma forma de limitar o valor absoluto da função. Vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Queremos que a fração se aproxime de um número específico quando e se aproximam de zero.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando e tendem a zero.
O numerador tende a zero, porque multiplicar dois números que vão para zero ainda dá zero.
O denominador também tende a zero, já que ambos os termos vão para zero.
Então, estamos lidando com uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos investigar mais a fundo.
Passo 5
Vamos tentar encontrar um limite superior para o valor absoluto da função, usando desigualdades. Queremos mostrar que a função tende a zero.
Primeiro, pegamos o valor absoluto da função:
Vamos avaliar os denominadores individualmente para encontrar um menor valor possível:
Nesse caso, à medida que y se aproxima de zero, |y|^9 também tende a zero, mas |x|^3 está no numerador, o que pode tornar essa expressão pequena.
Passo 8
Para assegurar que o limite seja zero, precisamos garantir que ambas as situações não causem comportamentos problemáticos. Vamos usar uma abordagem diferente: polar coordenadas.
Vamos definir:
x = r cos(theta), y = r sin(theta)
Onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo. À medida que r tende a zero, (x, y) se aproxima de (0,0) .
Agora, vamos analisar o que acontece quando r tende a zero. O termo 3 r^8 sin^12(theta) no denominador tende a zero, então o denominador fica aproximadamente 5 cos^4(theta) .
Agora, vemos que quando r tende a zero, r^2 também tende a zero. E como sin^3(theta) e cos(theta) são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o numerador tende a zero mais rápido do que o denominador.