Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime prime+2 y(y^prime)^3=0 Redução de Ordem

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: resolver a equação
y'' + 2,y,(y')^3 = 0
É uma equação de segunda ordem não linear e vamos usar redução de ordem, definindo p = y' para transformá-la numa de primeira ordem em p.

Passo 2

Com p = dydx, temos
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy
Substituindo na equação original:
p,dpdy + 2,y,p^3 = 0
Dividindo por p (assumindo pneq 0), sobra
dpdy + 2,y,p^2 = 0,
que é uma equação de primeira ordem em p(y).

Passo 3

Essa equação é separável. Escrevemos
dpp^2 = -2,y,dy
e integramos ambos os lados:
integral dpp^2 = integral -2,y,dy Longrightarrow -1p = -y^2 + C1 Longrightarrow 1p = y^2 - C1

Passo 4

Voltando à derivada de y, temos
dydx = p = 1y^2 - C1
Invertemos para separar novamente:
dxdy = y^2 - C1

Passo 5

Integramos em relação a y:
x + C2 = integral (y^2 - C1),dy = y^33 - C1,y

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x = y^33 - C1,y + C2,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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