Calcule
de
a
ao longo do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que faz parte do cálculo multivariável. A integral que temos é:
O caminho
vai de
até
ao longo do eixo
. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos simples, explicando cada parte do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho
. Ele vai do ponto
até
seguindo apenas o eixo
. Isso significa que, durante todo o percurso, a coordenada
permanece constante em 0. Ou seja:
Passo 3
Com
, vamos calcular a variação de
, que é
. Como
não muda ao longo do caminho, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Então, a integral simplifica para apenas
ao longo do caminho
.
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar o caminho
. Como estamos movendo ao longo do eixo
de
a
, podemos definir o parâmetro
como sendo
. Assim:
E como
sempre, não precisamos nos preocupar com ele.
Passo 6
Substituindo
na integral, temos:
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
.
Passo 7
A antiderivada de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
A integral
ao longo do eixo
de
a
é igual a 0.