Calcule integralC x d x+x^2 d y de (-1,0) a (1,0) ao longo do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que faz parte do cálculo multivariável. A integral que temos é:
integralC x , dx + x^2 , dy
O caminho C vai de (-1, 0) até (1, 0) ao longo do eixo x . Para resolver isso, vamos seguir alguns passos simples, explicando cada parte do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho C . Ele vai do ponto (-1, 0) até (1, 0) seguindo apenas o eixo x . Isso significa que, durante todo o percurso, a coordenada y permanece constante em 0. Ou seja:
y = 0

Passo 3

Com y = 0 , vamos calcular a variação de y , que é dy . Como y não muda ao longo do caminho, temos:
dy = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir y = 0 e dy = 0 na integral original:
integralC x , dx + x^2 , dy = integralC x , dx + x^2 times 0 = integralC x , dx
Então, a integral simplifica para apenas integral x , dx ao longo do caminho C .

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar o caminho C . Como estamos movendo ao longo do eixo x de -1 a 1, podemos definir o parâmetro t como sendo x . Assim:
x = t com t in [-1, 1]
E como y = 0 sempre, não precisamos nos preocupar com ele.

Passo 6

Substituindo x = t na integral, temos:
integralt=-1^t=1 t , dt
Agora, vamos integrar t em relação a t de -1 a 1.

Passo 7

A antiderivada de t em relação a t é:
integral t , dt = t^22 + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C .

Passo 8

Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
[ t^22 ]-1^1 = (1)^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0

Resposta

A integral integralC x , dx + x^2 , dy ao longo do eixo x de (-1, 0) a (1, 0) é igual a 0.

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