Calcule
onde
e
é a superfície da esfera
com orientaçã positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a superfície
, que é a esfera unitária
com orientação positiva. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la para simplificar a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica os cálculos. Matematicamente, ele diz que:
Aqui,
é a divergência do campo vetorial
, e
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
dado:
A divergência de
, denotada por
, é calculada da seguinte forma:
Calculando cada termo:
-
(já que é tratado como constante em relação a ). -
(não há na expressão). -
.
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
Precisamos calcular a integral tripla de
sobre o volume
, que é a esfera unitária.
Passo 5
Vamos resolver a integral tripla
na esfera
. Observa-se que a função
é ímpar em relação ao eixo
, e a esfera é simétrica em torno desse eixo. Isso significa que as contribuições positivas e negativas de
se cancelam.
Portanto,
Resposta
O valor da integral é
.