Calcule integral duplaS F n d S onde
F=lang<= y^2, sen(2 pi z^11) cdot e^x^2+z^5, z^2rang<=
e S é a superfície da esfera x^2+y^2+z^2=1 com orientaçã positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre a superfície S, que é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 com orientação positiva. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la para simplificar a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica os cálculos. Matematicamente, ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência do campo vetorial F, e V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F dado:
F = lang<= y^2, sin(2 pi z^11) cdot e^x^2+z^5, z^2 rang<=
A divergência de F, denotada por nabla cdot F, é calculada da seguinte forma:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Calculando cada termo:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x (y^2) = 0 (já que y é tratado como constante em relação a x).
  2. partial Fypartial y = partialpartial y ( sin(2 pi z^11) cdot e^x^2+z^5 ) = 0 (não há y na expressão).
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z (z^2) = 2z.
Então,
nabla cdot F = 0 + 0 + 2z = 2z

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV 2z , dV
Precisamos calcular a integral tripla de 2z sobre o volume V, que é a esfera unitária.

Passo 5

Vamos resolver a integral tripla integral triplaV 2z , dV na esfera x^2+y^2+z^2=1. Observa-se que a função z é ímpar em relação ao eixo z, e a esfera é simétrica em torno desse eixo. Isso significa que as contribuições positivas e negativas de z se cancelam.
Portanto,
integral triplaV 2z , dV = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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