- Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero ou não existe (esses são os pontos críticos) e depois determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto
.
A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Neste caso, nossa derivada
é um polinômio, que está definido para todo o
, então vamos resolver:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, fatorando a equação:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, precisamos classificá-los para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Podemos usar o teste da segunda derivada para isso.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
. A segunda derivada é a derivada da derivada:
Calculando cada termo:
Então, a segunda derivada é:
Passo 5
Vamos aplicar a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso indica que
tem um máximo local em
.
Para
:
Como
, isso indica que
tem um mínimo local em
.
Resposta
Os pontos críticos de
são:
-
: Máximo local -
: Mínimo local