1. Encontre os pontos críticos de f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1 e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero ou não existe (esses são os pontos críticos) e depois determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto x .
A função dada é:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1
A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(6x^2) + ddx(9x) + ddx(1)
Calculando cada termo:
ddx(x^3) = 3x^2
ddx(6x^2) = 12x
ddx(9x) = 9
ddx(1) = 0
Então, a derivada fica:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada f'(x) é igual a zero ou não existe. Neste caso, nossa derivada f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 é um polinômio, que está definido para todo o x , então vamos resolver:
3x^2 - 12x + 9 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
x^2 - 4x + 3 = 0
Agora, fatorando a equação:
(x - 1)(x - 3) = 0
Então, as soluções são:
x = 1 e x = 3
Portanto, os pontos críticos estão em x = 1 e x = 3 .

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, precisamos classificá-los para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Podemos usar o teste da segunda derivada para isso.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de f(x) . A segunda derivada é a derivada da derivada:
f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(3x^2 - 12x + 9)
Calculando cada termo:
ddx(3x^2) = 6x
ddx(-12x) = -12
ddx(9) = 0
Então, a segunda derivada é:
f''(x) = 6x - 12

Passo 5

Vamos aplicar a segunda derivada nos pontos críticos x = 1 e x = 3 :
Para x = 1 :
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6
Como f''(1) < 0 , isso indica que f(x) tem um máximo local em x = 1 .
Para x = 3 :
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6
Como f''(3) > 0 , isso indica que f(x) tem um mínimo local em x = 3 .

Resposta

Os pontos críticos de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 são:
  • x = 1 : Máximo local
  • x = 3 : Mínimo local

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