Calcule d yd x, sabendo-se que:
tg(x^2 y)=1+x y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx sabendo que
tgl(x^2yr)=1 + x,y^2
O conteúdo é derivação implícita, usando a regra da cadeia (para tg(u)) e a regra do produto (para x,y^2).

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia: se u=x^2y, então
ddxl[tg(u)r] =sec^2(u),dudx =sec^2l(x^2yr),ddxl(x^2yr)
E
ddxl(x^2yr) =2x,y + x^2,dydx

Passo 3

No lado direito, derivamos 1 + x,y^2. A constante some e usamos regra do produto em x,y^2:
ddxl(x,y^2r) =1cdot y^2 + xcdot 2y,dydx = y^2 + 2x,y,dydx

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados:
sec^2l(x^2yr),l(2x,y + x^2,tfracdydxr) = y^2 + 2x,y,tfracdydx

Passo 5

Agora agrupamos os termos que têm tfracdydx num mesmo lado. Expandindo e passando tudo para a esquerda:
2x,y,sec^2l(x^2yr) + x^2sec^2l(x^2yr),tfracdydx - y^2 - 2x,y,tfracdydx =0
Reorganizando em forma A,tfracdydx+B=0:
l(x^2sec^2(x^2y)-2x,yr),dydx = y^2-2x,y,sec^2(x^2y)

Passo 6

Isolando tfracdydx, obtemos
dydx =y^2-2x,y,sec^2l(x^2yr) x^2,sec^2l(x^2yr)-2x,y

Resposta

dydx =y^2-2x,y,sec^2l(x^2yr) x^2,sec^2l(x^2yr)-2x,y

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