onde
e
é a superfície da esfera
com orientaçã positiva.
Passo 1
Aqui, a gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a superfície da esfera
com orientação positiva.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então,
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que:
Como
, a integral de volume fica:
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera.
Passo 4
A esfera dada é
, que tem raio
. O volume de uma esfera é dado por:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, a integral de superfície é
.