integral duplaS F n d S onde
F=lang<= x,-z, yrang<=
e S é a superfície da esfera x^2+y^2+z^2=4 com orientaçã positiva.

Passo 1

Aqui, a gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde o campo vetorial é F = lang<= x, -z, y rang<= e S é a superfície da esfera x^2+y^2+z^2=4 com orientação positiva.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = lang<= P, Q, R rang<= é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = x, Q = -z e R = y. Então,
nabla cdot F = partial xpartial x + partial (-z)partial y + partial ypartial z = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Como nabla cdot F = 1, a integral de volume fica:
integral triplaV 1 , dV
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera.

Passo 4

A esfera dada é x^2 + y^2 + z^2 = 4, que tem raio r = 2. O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Substituindo r = 2:
V = 43 pi (2)^3 = 43 pi cdot 8 = 323 pi

Resposta

Portanto, a integral de superfície é 323 pi.

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