Calcule integralC-y dx+x dy, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:
triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC -y,dx + x,dy
ao longo de um contorno fechado C que é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1), orientado positivamente. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interior R.

Passo 2

No Teorema de Green, para um campo vec F=(P,Q) e curva C positiva que delimita R, vale
ointC P,dx+Q,dy ;=;integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui identificamos
P(x,y) = -y, Q(x,y)=x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -1,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

A região R é o triângulo de base 1 e altura 1, então
Area(R)=1cdot12=12
Portanto
integral duplaR 2,dA = 2times12 = 1

Passo 5

Pela equivalência do Teorema de Green, concluímos que
ointC -y,dx + x,dy = 1

Resposta

1

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