Calcule.
Lt y^prime(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de t,y'(t). Estamos em um contexto de transformada de Laplace e vamos usar a propriedade de diferenciação em s que relaciona Lt f(t) com F(s), onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

A primeira teoria que precisamos lembrar é: para uma função f(t) com transformada de Laplace F(s), vale a propriedade
Lt,f(t) = -ddsF(s)

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, tomamos f(t)=y'(t) e
F(s)=Ly'(t)=s,Y(s)-y(0),
onde Y(s)=Ly(t) e y(0) é o valor inicial de y em t=0.

Passo 4

Agora derivamos F(s) em relação a s:
dds[s,Y(s)-y(0)] = dds[s,Y(s)]-dds[y(0)] = Y(s)+s,Y'(s)-0 = Y(s)+s,Y'(s)

Passo 5

Portanto, pela propriedade de diferenciação em s, temos

Passo 6

Esse é o resultado geral expressando em termos de Y(s) e sua derivada. Finalizando: a transformada de Laplace de t,y'(t) fica

Resposta

-Y(s)-s,Y'(s)

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