Encontre uma equação da reta tangente à curva e faça o gráfico da equação e da reta tangente no ponto dado. y = (2x + 1) / (x + 2) P(1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em derivadas e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado e, depois, usar essa inclinação para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar essa função, podemos usar a regra do quociente, que é assim:
Aqui, e . Vamos derivar cada um:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada da função é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar para a forma reduzida:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é . Ao desenhar o gráfico, a reta tangente toca a curva exatamente nesse ponto.

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