Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
© z = ln(x y)
R: -1/x^2 ; 0 ; 0 ; -1/y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções logarítmicas e como encontrar derivadas de ordem superior.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a . A função pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
Agora, derivamos em relação a :
Como é tratado como constante em relação a , . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a . Isso significa derivar novamente em relação a :
A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a variável . Primeiramente, encontramos a primeira derivada parcial em relação a :
Aqui, porque é constante em relação a . Então:

Passo 5

Em seguida, encontramos a derivada parcial de segunda ordem em relação a :
A derivada de é:

Passo 6

Finalmente, vamos verificar as derivadas mistas, ou seja, derivadas de primeiro em relação a e depois em relação a , e vice-versa:
Isso ocorre porque as derivadas parciais de primeira ordem e não dependem das outras variáveis.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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