Calcule o lugar geométrico definido pela interseção das esferas e .
Passo 1
O enunciado dá duas esferas em :
Queremos o lugar geométrico da interseção, que em geral é um círculo. Para isso precisamos (i) achar o plano onde esse círculo está (subtraindo as equações) e (ii) encontrar seu centro e seu raio (projeção de um dos centros e distância até a esfera).
Passo 2
Subtraindo obtemos uma equação linear. Expandindo e simplificando, chega-se a
Esse é o plano que contém o círculo de interseção.
Passo 3
O centro da esfera é e seu raio é . A distância de ao plano vale
Passo 4
O centro P do círculo é a projeção de C1 no plano. Usando fórmula da projeção de um ponto num plano de norma n=(1,-2,-1) com |n|^2=6,
P = C1 ;-;7 - r^22cdot6;(1,,-2,,-1) = l(tfrac17+r^212,;tfrac1-r^26,;tfrac7-r^212r)
Passo 5
O raio rho do círculo vem de rho^2=R1^2-d^2, isto é
rho^2 = 1 - (7 - r^2)^224,
rho = raiz,1 - (7 - r^2)^224,,,
desde que 1 - (7 - r^2)^224>=0, ou seja
7-2raiz6;<=;r^2;<=;7+2raiz6
Passo 6
Logo, o lugar geométrico da interseção é o círculo
x - 2y - z = dfracr^2+12,[6pt] l(x-tfrac17+r^212r)^2 +l(y-tfrac1-r^26r)^2 +l(z-tfrac7-r^212r)^2 =1 - dfrac(7 - r^2)^224,
existente apenas se
7 - 2raiz6;<=;r^2;<=;7 + 2raiz6
]
Resposta
O lugar geométrico é o círculo acima, situado no plano x-2y-z=(r^2+1)/2, com centro l(tfrac17+r^212,tfrac1-r^26,tfrac7-r^212r) e raio rho=raiz1-(7-r^2)^2/24, definido para 7-2raiz6<= r^2<=7+2raiz6.