Calcule o lugar geométrico definido pela interseção das esferas (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1 e (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=r^2.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas em R^3:
(E1):;(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1,
(E2):;(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=r^2
Queremos o lugar geométrico da interseção, que em geral é um círculo. Para isso precisamos (i) achar o plano onde esse círculo está (subtraindo as equações) e (ii) encontrar seu centro e seu raio (projeção de um dos centros e distância até a esfera).

Passo 2

Subtraindo (E2) - (E1) obtemos uma equação linear. Expandindo e simplificando, chega-se a
(x-1)^2-(x-2)^2+(y-1)^2-(y+1)^2+(z-1)^2-z^2=r^2-1
Longrightarrow 2x-4y-2z-2 = r^2-1
Longrightarrow x - 2y - z = r^2+12
Esse é o plano que contém o círculo de interseção.

Passo 3

O centro da esfera (E1) é C1=(2,-1,0) e seu raio é R1=1. A distância de C1 ao plano x-2y-z=tfracr^2+12 vale
d = l|,2-2(-1)-0 -tfracr^2+12r|raiz1^2+(-2)^2+(-1)^2 = l|,4 -tfracr^2+12r|raiz6 = |,7 - r^2|2raiz6

Passo 4

O centro P do círculo é a projeção de C1 no plano. Usando fórmula da projeção de um ponto num plano de norma n=(1,-2,-1) com |n|^2=6,
P = C1 ;-;7 - r^22cdot6;(1,,-2,,-1) = l(tfrac17+r^212,;tfrac1-r^26,;tfrac7-r^212r)

Passo 5

O raio rho do círculo vem de rho^2=R1^2-d^2, isto é
rho^2 = 1 - (7 - r^2)^224,
rho = raiz,1 - (7 - r^2)^224,,,
desde que 1 - (7 - r^2)^224>=0, ou seja
7-2raiz6;<=;r^2;<=;7+2raiz6

Passo 6

Logo, o lugar geométrico da interseção é o círculo
x - 2y - z = dfracr^2+12,[6pt] l(x-tfrac17+r^212r)^2 +l(y-tfrac1-r^26r)^2 +l(z-tfrac7-r^212r)^2 =1 - dfrac(7 - r^2)^224,
existente apenas se
7 - 2raiz6;<=;r^2;<=;7 + 2raiz6
]

Resposta

O lugar geométrico é o círculo acima, situado no plano x-2y-z=(r^2+1)/2, com centro l(tfrac17+r^212,tfrac1-r^26,tfrac7-r^212r) e raio rho=raiz1-(7-r^2)^2/24, definido para 7-2raiz6<= r^2<=7+2raiz6.

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