Considere o sistema linear nas variáveis dado por:
Determine os valores de gamma e de<a para os quais o sistema possui infinitas soluções.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x, y e z. As equações envolvem dois parâmetros desconhecidos, gamma e de<a. O nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de gamma e de<a fazem com que esse sistema tenha infinitas soluções. Isso envolve entender um pouco de sistemas lineares e condições para que eles não tenham apenas uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
l gamma x + de<a y + z = 3 (1) gamma x + 2y + de<a z = 5 (2) y + de<a z = gamma (3)
Passo 3
Vamos começar resolvendo a terceira equação para expressar y em termos de z:
y = gamma - de<a z (a)
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de y na primeira e segunda equações:
Na equação (1):
gamma x + de<a (gamma - de<a z) + z = 3
gamma x + gamma de<a - de<a^2 z + z = 3
gamma x - de<a^2 z + z = 3 - gamma de<a (1')
Na equação (2):
gamma x + 2 (gamma - de<a z) + de<a z = 5
gamma x + 2gamma - 2de<a z + de<a z = 5
gamma x - de<a z + 2gamma = 5 (2')
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (x e z):
l gamma x - de<a^2 z + z = 3 - gamma de<a (1') gamma x - de<a z + 2gamma = 5 (2')
Vamos simplificar a equação (1’):
gamma x + z (1 - de<a^2) = 3 - gamma de<a (1'')
Passo 6
Para que o sistema tenha infinitas soluções, as duas equações devem ser equivalentes, ou seja, uma deve ser múltiplo da outra. Isso acontece quando os coeficientes de x e z nas duas equações são proporcionais, e os termos independentes também seguem essa proporção.
Primeiro, simplificamos a proporção dos coeficientes de x:
gammagamma = 1
Agora, igualamos as outras proporções:
1 - de<a^2- de<a = 1
1 - de<a^2 = -de<a
de<a^2 - de<a - 1 = 0
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para de<a:
de<a = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Então, temos duas possibilidades para de<a:
de<a = 1 + raiz52 ou de<a = 1 - raiz52
Passo 8
Agora, substituímos os valores de de<a na equação (2’) para encontrar gamma:
gamma x - de<a z + 2gamma = 5
Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que a equação seja válida para qualquer x e z, o que implica que os coeficientes devem satisfazer certas condições. Após simplificar, encontramos que gamma deve ser zero para manter a proporcionalidade.
Passo 9
Conclusão: Os valores de gamma e de<a que fazem o sistema ter infinitas soluções são:
gamma = 0 e de<a = 1 pm raiz52
Resposta
Os valores que satisfazem o sistema com infinitas soluções são gamma = 0 e de<a = dfrac1 pm raiz52.