Calcule m para que os planos
pi1: X=(1,1,0)+lambda(m, 1,1)+mu(1,1, m)
e
pi2: 2 x+3 y+2 z-5=0
sejam paralelos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de m tal que o plano pi1, dado em forma paramétrica, seja paralelo mas não coincida com o plano cartesiano pi2. Vamos precisar: calcular o vetor normal de pi1 via produto vetorial entre os diretores, igualar direção a (2,3,2) e depois checar se a posição afasta os planos (distância não nula).

Passo 2

Temos os vetores diretores de pi1:
pi1
O vetor normal de n1 = u times v = (m-1,,-(m^2-1),,m-1) = (m-1),(1,,-(m+1),,1) é

Passo 3

O plano pi2 tem normal n2=(2,3,2). Para serem paralelos, n1 tem de ser paralelo a n2, ou seja
(1,,-(m+1),,1) = k,(2,3,2)
Da primeira componente vem 1=2k k=tfrac12. Da segunda: -(m+1))=3k=tfrac32 m+1=-tfrac32 m=-tfrac52. A terceira confere: 1=2cdottfrac12.

Passo 4

Agora checamos se, para m=-tfrac52, os planos coincidem ou não. Basta ver se o ponto base de pi1, que é (1,1,0), satisfaz a equação de pi2:
2cdot1 +3cdot1 +2cdot0 -5 =0
Como a expressão é zero, este ponto está em pi2. Dois planos com mesmos normais que compartilham um ponto coincidem. Portanto, para m=-tfrac52 os planos não são distintos.

Passo 5

Não houve outro valor de m que tornasse os normais paralelos. Concluímos que não existe valor de m que faça com que pi1 e pi2 sejam paralelos e distintos.

Resposta

Não existe valor de m que torne os planos paralelos distintos.

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