Determine o grau dos seguintes polinômios:

Passo 1

O enunciado pede para achar o grau do polinômio (1 + 2X^2)^4 no anel Z8[X]. Vamos usar a fórmula do binômio de Newton e depois reduzir coeficientes módulo 8.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton, temos:
(1 + 2X^2)^4 = sumk=0^4 binom4k cdot 1^4-k cdot (2X^2)^k
Calculando cada termo do somatório:
&k=0: binom40 cdot 2^0 X^0 = 1, &k=1: binom41 cdot 2^1 X^2 = 4 cdot 2 X^2 = 8X^2, &k=2: binom42 cdot 2^2 X^4 = 6 cdot 4 X^4 = 24X^4, &k=3: binom43 cdot 2^3 X^6 = 4 cdot 8 X^6 = 32X^6, &k=4: binom44 cdot 2^4 X^8 = 1 cdot 16 X^8 = 16X^8

Passo 3

Agora reduzimos cada coeficiente módulo 8 em Z8:
1 equiv 1, 8 equiv 0, 24 equiv 0, 32 equiv 0, 16 equiv 0 pmod8
Portanto o polinômio em Z8[X] é simplesmente 1, que é de grau zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados