Seja D um domínio e f, g in D[X] tais que partial(f g)=8 e partial(g-f). Determine .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um domínio D e polinômios f,g ∈ D[X], tais que partial(f^3)=15 e partial(fg)=8. O objetivo é determinar partial(g-f). Para isso, vamos usar propriedades dos graus de polinômios sobre domínio:
– multiplicação: partial(PQ)=partial P+partial Q,
– potência: partial(P^n)=n,partial P,
– soma/subtração: partial(Ppm Q)<=max(partial P,partial Q), com igualdade se partial Pneqpartial Q, pois não há cancelamento do termo de maior grau.

Passo 2

Como partial(f^3)=3,partial f, igualando a 15, temos
3,partial f =15 implies partial f=5

Passo 3

Aplicando partial(fg)=partial f+partial g, igualando a 8 e usando partial f=5, obtemos
partial g =8-5=3

Passo 4

Para partial(g-f), como partial f=5>3=partial g, não há cancelamento do termo líder, logo
partial(g-f)=max(5,3)=5

Resposta

5

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