Determine o grau dos seguintes polinômios:

Passo 1

O enunciado pede o grau do polinômio P(X) = (1 + X + X^2 + X^3 + X^4)^7 no anel Z7[X]. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de que em característica p vale o “teorema do estudante” (freshman’s dream).

Passo 2

Em um corpo de característica p, para quaisquer termos A1, A2, dots, An vale
(A1 + A2 + cdots + An)^p equiv A1^p + A2^p + cdots + An^p pmod p
No nosso caso, p = 7 e temos cinco termos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade a P(X) em Z7[X], obtemos
P(X) equiv 1^7 + X^7 + X^14 + X^21 + X^28 pmod 7
ou seja
P(X) = 1 + X^7 + X^14 + X^21 + X^28
pois todos os coeficientes cruzados sumiram módulo 7.

Passo 4

O grau de um polinômio é o maior expoente de X que aparece com coeficiente não nulo. Aqui o maior expoente é 28, com coeficiente 1 (não nulo em Z7).

Resposta

28

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