Encontre um polinômio não constante inversível no anel Z8[X].

Passo 1

O enunciado pede para achar um polinômio não constante invertível no anel Z8[X]. Vamos usar o conceito de unidade e de elemento nilpotente em Z8 para construir esse polinômio.

Passo 2

Em geral, em um anel com elementos nilpotentes, um polinômio f(x)=a0+a1x+cdots+anx^n é unidade em R[X] se, e somente se, a0 for unidade em R e todos os demais ai forem nilpotentes.

Passo 3

No anel Z8, as unidades são 1,3,5,7 e os elementos nilpotentes são os múltiplos de 2 (por exemplo, 2,4,6). Vamos escolher o coeficiente de x igual a 2, que é nilpotente, e o termo constante igual a 1, que é unidade.

Passo 4

Definimos então o polinômio
f(x)=1+2x
Como 2x é nilpotente (pois (2x)^3=8x^3=0 em Z8[X]), podemos usar a série geométrica truncada para encontrar o inverso:
g(x)=sumi=0^2(-2x)^i=1-2x+4x^2

Passo 5

Basta verificar o produto:
(1+2x)(1-2x+4x^2)=1 + (2x-2x) + (4x^2-4x^2) +8x^3 =1
em Z8[X], mostrando que g(x) é de fato o inverso de f(x).

Resposta

Um exemplo de polinômio não constante invertível em Z8[X] é f(x)=1+2x, cujo inverso é g(x)=1-2x+4x^2.

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