Encontre um polinômio não constante inversível no anel
.
Passo 1
O enunciado pede para achar um polinômio não constante invertível no anel
. Vamos usar o conceito de unidade e de elemento nilpotente em
para construir esse polinômio.
Passo 2
Em geral, em um anel com elementos nilpotentes, um polinômio
é unidade em
se, e somente se,
for unidade em
e todos os demais
forem nilpotentes.
Passo 3
No anel
, as unidades são
e os elementos nilpotentes são os múltiplos de 2 (por exemplo,
). Vamos escolher o coeficiente de
igual a 2, que é nilpotente, e o termo constante igual a 1, que é unidade.
Passo 4
Definimos então o polinômio
Como
é nilpotente (pois
em
), podemos usar a série geométrica truncada para encontrar o inverso:
Passo 5
Basta verificar o produto:
em
, mostrando que
é de fato o inverso de
.
Resposta
Um exemplo de polinômio não constante invertível em
é
, cujo inverso é
.