Calcule a magnitude do produto vetorial dos vetores u=(1,1,0) e v=(0,1,1). (Isto é, calcule |u times v| )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a magnitude do produto vetorial dos vetores u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1). Aqui a gente vai usar conceitos de Álgebra Vetorial, mais especificamente o produto vetorial e sua magnitude. Precisamos saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e depois encontrar o tamanho (ou magnitude) desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional. Se temos u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial u times v é dado por:
u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 )
Isso nos dá um novo vetor perpendicular aos vetores u e v.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores específicos:
u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1).
Calculando cada componente do produto vetorial:
  • Componente x:
u2v3 - u3v2 = 1 cdot 1 - 0 cdot 1 = 1 - 0 = 1
  • Componente y:
u3v1 - u1v3 = 0 cdot 0 - 1 cdot 1 = 0 - 1 = -1
  • Componente z:
u1v2 - u2v1 = 1 cdot 1 - 1 cdot 0 = 1 - 0 = 1
Então, o produto vetorial é:
u times v = (1, -1, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|u times v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Resposta

A magnitude do produto vetorial dos vetores u e v é raiz3.

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