Encontre o produto vetorial de u=(a, b, c) e v=(x, y, z), e expresse o resultado em função de a, b, c, x, y, z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o produto vetorial entre dois vetores u = (a, b, c) e v = (x, y, z). Esse é um conceito da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende a calcular vetores que são perpendiculares aos vetores dados. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial e entender como aplicar determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do produto vetorial. Se tivermos dois vetores u = (a, b, c) e v = (x, y, z), o produto vetorial u times v é dado por:
u times v = i & j & k a & b & c x & y & z
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Para calcular o determinante acima, vamos expandir usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos seguir a regra de co-fatores. A fórmula fica assim:
u times v = i(b z - c y) - j(a z - c x) + k(a y - b x)
Isso significa que cada componente do vetor resultante é obtida a partir das combinações dos componentes dos vetores u e v.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos distribuir os sinais para cada componente:
u times v = (b z - c y), i - (a z - c x), j + (a y - b x), k
Isso pode ser reescrito como:
u times v = (b z - c y,, c x - a z,, a y - b x)

Passo 5

Pronto! A gente conseguiu expressar o produto vetorial em função dos componentes a, b, c, x, y, z dos vetores u e v.

Resposta

O produto vetorial de u e v é:
u times v = (b z - c y,, c x - a z,, a y - b x)

Exercícios relacionados