Encontre o produto vetorial de , e expresse o resultado em função de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o produto vetorial entre dois vetores e . Esse é um conceito da matéria de Álgebra Linear, onde a gente aprende a calcular vetores que são perpendiculares aos vetores dados. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial e entender como aplicar determinantes de matrizes 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do produto vetorial. Se tivermos dois vetores e , o produto vetorial é dado por:
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Para calcular o determinante acima, vamos expandir usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos seguir a regra de co-fatores. A fórmula fica assim:
u times v = i(b z - c y) - j(a z - c x) + k(a y - b x)
Isso significa que cada componente do vetor resultante é obtida a partir das combinações dos componentes dos vetores u e v.
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos distribuir os sinais para cada componente:
u times v = (b z - c y), i - (a z - c x), j + (a y - b x), k
Isso pode ser reescrito como:
u times v = (b z - c y,, c x - a z,, a y - b x)
Passo 5
Pronto! A gente conseguiu expressar o produto vetorial em função dos componentes a, b, c, x, y, z dos vetores u e v.