Dado o triângulo formado pelos vértices e , encontre um vetor normal ao plano do triângulo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema nos pede. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos , e . Nosso objetivo é encontrar um vetor que seja perpendicular (normal) ao plano em que esse triângulo está. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o produto vetorial.
Passo 2
Para encontrar um vetor normal, precisamos primeiro determinar dois vetores que estejam no plano do triângulo. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais, ou seja, perpendicular ao plano formado por eles.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
Isso se calcula da seguinte forma:
AB times AC = i(2 cdot 4 - 3 cdot (-1)) - j(1 cdot 4 - 3 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 2)
Calculando cada parte:
i(8 + 3) - j(4 - 6) + k(-1 - 4) = 11i + 2j - 5k
Portanto, o vetor (11, 2, -5) é um vetor normal ao plano do triângulo.
Resposta
Um vetor normal ao plano do triângulo é n = (11, 2, -5).