Dado o triângulo formado pelos vértices A(1,1,1), B(2,3,4) e C(3,0,5), encontre um vetor normal ao plano do triângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema nos pede. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos A(1,1,1), B(2,3,4) e C(3,0,5). Nosso objetivo é encontrar um vetor que seja perpendicular (normal) ao plano em que esse triângulo está. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Para encontrar um vetor normal, precisamos primeiro determinar dois vetores que estejam no plano do triângulo. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (2-1, 3-1, 4-1) = (1, 2, 3)
AC = C - A = (3-1, 0-1, 5-1) = (2, -1, 4)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB e AC, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais, ou seja, perpendicular ao plano formado por eles.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4
Isso se calcula da seguinte forma:
AB times AC = i(2 cdot 4 - 3 cdot (-1)) - j(1 cdot 4 - 3 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 2)
Calculando cada parte:
i(8 + 3) - j(4 - 6) + k(-1 - 4) = 11i + 2j - 5k
Portanto, o vetor (11, 2, -5) é um vetor normal ao plano do triângulo.

Resposta

Um vetor normal ao plano do triângulo é n = (11, 2, -5).

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