Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos onde a função está crescendo, a concavidade dela (se está voltada para cima) e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para analisar crescimento e pontos críticos, e a segunda para estudar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a entender como a função está mudando. A derivada nos diz a “inclinação” da função em cada ponto.
A função é
. Usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui, a derivada
está definida para todo
, então vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos de crescimento da função usando a primeira derivada
.
- Para
: o numerador é positivo (já que é negativo), e o denominador é sempre positivo. Então, → a função está crescente. - Para
: o numerador é negativo, então → a função está decrescente.
Portanto, a função cresce no intervalo
e decresce no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada nos diz se a função está “curvando para cima” ou “para baixo”.
Derivando
:
Usamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os valores de
onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, muda a concavidade da função. Igualamos
a zero:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 7
Vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada
:
- Para
: o numerador é negativo, então → a função é côncava para baixo. - Para
: o numerador é positivo, então → a função é côncava para cima.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
- A função tem um único ponto crítico em
, onde atinge o máximo . - Cresce no intervalo
e decresce em . - Possui pontos de inflexão em
, mudando a concavidade nesses pontos. - A função é simétrica em relação ao eixo
porque é uma função par. - À medida que
vai para , se aproxima de zero.
Com todas essas informações, o gráfico terá uma forma de “campânula” invertida, atingindo seu pico em
, e descendo suavemente em ambos os lados, com a curvatura mudando nos pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos ocorrem em
, onde a função atinge um máximo de 1. A função cresce no intervalo
e decresce em
. Os pontos de inflexão estão em
, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima. A concavidade é voltada para baixo quando
e para cima quando
. O esboço do gráfico mostra uma função simétrica com um pico em
e se aproximando de zero para
tendendo a
.