Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
f(x)=11+x^2

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos onde a função está crescendo, a concavidade dela (se está voltada para cima) e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para analisar crescimento e pontos críticos, e a segunda para estudar a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx(11 + x^2) = 0 cdot (1 + x^2) - 1 cdot 2x(1 + x^2)^2 = -2x(1 + x^2)^2 , que nos ajuda a entender como a função está mudando. A derivada nos diz a “inclinação” da função em cada ponto.
A função é . Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de -2x(1 + x^2)^2 = 0 implies -2x = 0 implies x = 0 onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui, a derivada está definida para todo , então vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos de crescimento da função usando a primeira derivada .
  • Para : o numerador é positivo (já que é negativo), e o denominador é sempre positivo. Então, → a função está crescente.
  • Para : o numerador é negativo, então → a função está decrescente.
Portanto, a função cresce no intervalo e decresce no intervalo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada nos diz se a função está “curvando para cima” ou “para baixo”.
Derivando f''(x) = ddx(-2x(1 + x^2)^2) :
f''(x) = -2 cdot (1 + x^2)^2 - (-2x) cdot 2(1 + x^2) cdot 2x(1 + x^2)^4
Usamos a regra do quociente novamente:
f''(x) = -2(1 + x^2)^2 + 8x^2(1 + x^2)(1 + x^2)^4 = -2(1 + x^2) + 8x^2(1 + x^2)^3 = 6x^2 - 2(1 + x^2)^3
Simplificando:

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os valores de 6x^2 - 2(1 + x^2)^3 = 0 implies 6x^2 - 2 = 0 implies x^2 = 13 implies x = pm raiz33 onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, muda a concavidade da função. Igualamos a zero:
Então, os pontos de inflexão estão em e .

Passo 7

Vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada :
  • Para : o numerador é negativo, então → a função é côncava para baixo.
  • Para : o numerador é positivo, então → a função é côncava para cima.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
  • A função tem um único ponto crítico em , onde atinge o máximo .
  • Cresce no intervalo e decresce em .
  • Possui pontos de inflexão em , mudando a concavidade nesses pontos.
  • A função é simétrica em relação ao eixo porque é uma função par.
  • À medida que vai para , se aproxima de zero.
Com todas essas informações, o gráfico terá uma forma de “campânula” invertida, atingindo seu pico em , e descendo suavemente em ambos os lados, com a curvatura mudando nos pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos ocorrem em , onde a função atinge um máximo de 1. A função cresce no intervalo e decresce em . Os pontos de inflexão estão em , onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima. A concavidade é voltada para baixo quando e para cima quando . O esboço do gráfico mostra uma função simétrica com um pico em e se aproximando de zero para tendendo a .

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