Calcule a massa da chapa fina S dada por r(u, v)=(2 cos u, 2 sen u, v), u in[0,2pi], v in[0,2], sendo de a densidade superficial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma chapa fina $ S $ que é dada pela parametrização $ r(u, v) = (2 \cos u, 2 \sin u, v) $, onde $ u $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ v $ varia de $ 0 $ a $ 2 $. A densidade superficial da chapa é $ \delta(x, y, z) = x^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização $ r(u, v) = (2 \cos u, 2 \sin u, v) $. Isso descreve um cilindro circular com raio 2, onde $ u $ controla o ângulo ao redor do eixo $ z $ e $ v $ representa a altura ao longo do eixo $ z $. Então, estamos lidando com uma superfície cilíndrica.

Passo 3

Para calcular a massa da chapa, precisamos integrar a densidade superficial sobre toda a superfície. A fórmula geral para a massa $ M $ é:
M
Onde $ dS $ é o elemento de área na superfície.

Passo 4

Como temos a parametrização da superfície, podemos expressar $ dS $ em termos de $ u $ e $ v $. O elemento de área em coordenadas parametrizadas é dado pelo produto vetorial dos vetores parciais da parametrização:
dS

Passo 5

Vamos calcular os vetores parciais:
partial rpartial u = (-2 sin u, 2 cos u, 0)
partial rpartial v = (0, 0, 1)

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial:
partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k -2 sin u & 2 cos u & 0 0 & 0 & 1 = (2 cos u)(1) - (0)(0) , i - [(-2 sin u)(1) - (0)(0)] , j + [(-2 sin u)(0) - (2 cos u)(0)] , k
= 2 cos u , i + 2 sin u , j + 0 , k

Passo 7

A magnitude desse vetor é:
| partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz(2 cos u)^2 + (2 sin u)^2 + 0^2 = raiz4 cos^2 u + 4 sin^2 u = raiz4 (cos^2 u + sin^2 u) = raiz4 cdot 1 = 2

Passo 8

Agora, podemos expressar o elemento de área:
dS = 2 , du , dv

Passo 9

A densidade superficial $ \delta(x, y, z) = x^{2} $. Usando a parametrização, $ x = 2 \cos u $, então:
de

Passo 10

Agora, substituímos tudo na integral da massa:
M = integral duplaS de

Passo 11

Vamos simplificar a integral:
M = 8 integral0^2pi cos^2 u ( integral0^2 dv ) du = 8 integral0^2pi cos^2 u cdot 2 , du = 16 integral0^2pi cos^2 u , du

Passo 12

Sabemos que:
cos^2 u = 1 + cos 2u2
Então,
16 integral0^2pi 1 + cos 2u2 , du = 8 integral0^2pi (1 + cos 2u) , du = 8 [ integral0^2pi 1 , du + integral0^2pi cos 2u , du ]

Passo 13

Calculando as integrais:
integral0^2pi 1 , du = 2pi
integral0^2pi cos 2u , du = 0
Portanto,
M = 8 (2pi + 0) = 16pi

Resposta

A massa da chapa fina $ S $ é $ 16\pi $ unidades de massa.

Exercícios relacionados