Calcule a massa da chapa fina
dada por
,
, sendo
a densidade superficial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma chapa fina $ S $ que é dada pela parametrização $ r(u, v) = (2 \cos u, 2 \sin u, v) $, onde $ u $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ v $ varia de $ 0 $ a $ 2 $. A densidade superficial da chapa é $ \delta(x, y, z) = x^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização $ r(u, v) = (2 \cos u, 2 \sin u, v) $. Isso descreve um cilindro circular com raio 2, onde $ u $ controla o ângulo ao redor do eixo $ z $ e $ v $ representa a altura ao longo do eixo $ z $. Então, estamos lidando com uma superfície cilíndrica.
Passo 3
Para calcular a massa da chapa, precisamos integrar a densidade superficial sobre toda a superfície. A fórmula geral para a massa $ M $ é:
Onde $ dS $ é o elemento de área na superfície.
Passo 4
Como temos a parametrização da superfície, podemos expressar $ dS $ em termos de $ u $ e $ v $. O elemento de área em coordenadas parametrizadas é dado pelo produto vetorial dos vetores parciais da parametrização:
Passo 5
Vamos calcular os vetores parciais:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial:
Passo 7
A magnitude desse vetor é:
Passo 8
Agora, podemos expressar o elemento de área:
Passo 9
A densidade superficial $ \delta(x, y, z) = x^{2} $. Usando a parametrização, $ x = 2 \cos u $, então:
Passo 10
Agora, substituímos tudo na integral da massa:
Passo 11
Vamos simplificar a integral:
Passo 12
Sabemos que:
Então,
Passo 13
Calculando as integrais:
Portanto,
Resposta
A massa da chapa fina $ S $ é $ 16\pi $ unidades de massa.