Calcule a massa de um cilindro de raio 2 , altura 5 , centrado no eixo z, com densidade \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um cilindro de raio 2 e altura 5, alinhado ao eixo z, com densidade \rho(x,y,z)=x^2+y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume é \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a densidade vira
\rho(r,\theta,z)=x^2+y^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2.

Passo 3

A massa M é dada por
M = \iiint_{\text{cilindro}}\rho\,\mathrm{d}V = \int_{z=0}^{5}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} \bigl(r^2\bigr)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z = \int_{0}^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 4

Calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^3\,\mathrm{d}r = \left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} =4.
Em seguida a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}4\,\mathrm{d}\theta = 4\cdot2\pi = 8\pi.
Por fim a integral em z:
\int_{0}^{5}8\pi\,\mathrm{d}z = 8\pi\cdot5 = 40\pi.

Resposta

A massa do cilindro é 40\pi.

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