Uma luz monocromática de comprimento de onda de 500 nm ilumina duas fendas idênticas, produzindo uma figura de interferência sobre uma tela a 73,0 \mathrm{~cm} das fendas. As faixas brilhantes estão a 1,70 \mathrm{~cm} de distância uma da outra, e as 4^{\text {as }} faixas brilhantes em ambos os lados do máximo central estão ausentes na figura. Qual é a largura das fendas (em \mu \mathrm{m} )?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede a largura de cada fenda em um experimento de dupla fenda cujas fendas têm largura finita, de modo que o padrão de interferência fica modulado pela difração de cada fenda. Vamos usar:
– Comprimento de onda \lambda = 500\\ \mathrm{nm}
– Distância até a tela L = 73{,}0\\ \mathrm{cm}
– Espaçamento entre franjas brilhantes \beta = 1{,}70\\ \mathrm{cm}
– As franjas de ordem m = \pm 4 estão ausentes (primeira faixa ausente é a de m=4).

Passo 2

Primeiro determinamos a separação d entre as fendas a partir do espaçamento das franjas de interferência, que satisfaz
\beta = \frac{\lambda\,L}{d}.
Isolando d:
d = \frac{\lambda\,L}{\beta} = \frac{500\times10^{-9}\,\mathrm{m}\,\times 0{,}73\\ \mathrm{m}}{0{,}0170\\ \mathrm{m}} \approx 2{,}15\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 21{,}5\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 3

A ausência da 4ª franja de interferência ocorre porque ela coincide com o primeiro mínimo da difração de cada fenda. As posições angulares satisfazem
– Interferência de ordem m: d\sin\theta_m = m\,\lambda.
– Primeiro mínimo de difração: a\sin\theta = \lambda.
Para a ausência em m=4 temos \sin\theta_4 = 4\lambda/d igual a \sin\theta do mínimo, logo
a\,\sin\theta_4 = \lambda \quad\Longrightarrow\quad a\,\frac{4\lambda}{d} = \lambda \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{d}{4}.

Passo 4

Substituindo d = 2{,}15\times10^{-5}\\ \mathrm{m}:
a = \frac{2{,}15\times10^{-5}\\ \mathrm{m}}{4} = 5{,}37\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 5{,}37\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

A largura de cada fenda é aproximadamente 5{,}37\\ \mu\mathrm{m}.

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