Diz-se que
é uma Sequência de Cauchy quando, para todo
dado, existe
tal que
. Responda o que se pede:
a) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Seja
. Supondo que
seja tal que
para todo
, prove que (
) é uma sequência de Cauchy.
a) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Seja
Passo 1
O enunciado define que uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
Pede-se:
a) Mostrar que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Dado e supondo que
a) Mostrar que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Dado
provar que
é de Cauchy.
Conteúdo principal: definição de Cauchy, prova de sequência limitada, argumento de indução e série geométrica para controle de diferenças.
Conteúdo principal: definição de Cauchy, prova de sequência limitada, argumento de indução e série geométrica para controle de diferenças.
Passo 2
Prova de (a): seja
de Cauchy. Escolha
. Então existe
tal que, para todo
,
Então, para
, pela desigualdade triangular,
Para os termos
basta tomar
e definir
Então
para todo
, mostrando que a sequência é limitada.
Passo 3
Para (b), a condição
significa que as diferenças sucessivas formam uma sequência geométrica decrescente (fator
). Vamos primeiro estimar
em função de
.
Passo 4
Prova por indução de que, para todo
,
Base (
):
é óbvio.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Isso completa a indução.
Passo 5
Para
, usando telescopia e a desigualdade triangular,
Como
, a série geométrica infinita converge:
Logo, para todo
,
Passo 6
Dado
, basta escolher
tal que
Isso é possível porque
quando
. Então, sempre que
, garante-se
isto é,
é de Cauchy.
Resposta
a) Toda sequência de Cauchy é limitada, pois tomando
obtemos um limite superior comum a todos os seus termos.
b) Se com
, então as diferenças sucessivas decrescem geometricamente e a soma telescópica dessas diferenças é controlada por uma série geométrica convergente, provando que
satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
b) Se