Calcule o volume da metade superior da esfera de raio 2 , centrada na origem, usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume da metade superior de uma esfera de raio
centrada na origem, usando coordenadas esféricas. O conteúdo é integração tripla em coordenadas esféricas, onde precisamos do elemento de volume e dos limites adequados.
Passo 2
Em coordenadas esféricas
, em que
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
o ângulo azimutal, o elemento de volume é
Para a metade superior temos
,
e
.
Passo 3
Escrevemos o integral triplo
Calculando primeiro em
:
Passo 4
Em seguida, a integral em
:
Passo 5
Finalmente, a integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados: