Calcule o volume da metade superior da esfera de raio 2 , centrada na origem, usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da metade superior de uma esfera de raio 2 centrada na origem, usando coordenadas esféricas. O conteúdo é integração tripla em coordenadas esféricas, onde precisamos do elemento de volume e dos limites adequados.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), em que \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \varphi o ângulo azimutal, o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Para a metade superior temos
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \varphi\in[0,2\pi] e r\in[0,2].

Passo 3

Escrevemos o integral triplo
V = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{2} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Calculando primeiro em r:
\int_{0}^{2}r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.

Passo 4

Em seguida, a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1.

Passo 5

Finalmente, a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.

Passo 6

Multiplicando os resultados:
V = \frac{8}{3}\times 1 \times 2\pi = \frac{16\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{3}

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