Resolva a integral de linha integralC x^3y d s onde C é a porção do gráfico y=x^22 com 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCx^3y,ds
onde C é o arco do gráfico y=tfracx^22 para 0<= x<=2. Este é um exercício de cálculo de integrais de linha com elemento de comprimento ds.

Passo 2

Parametrizamos C por
x = t, y = t^22, tin[0,2]
Então
dxdt=1, dydt=t
e o elemento de comprimento é
ds = raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt = raiz1 + t^2;dt
Também substituímos no integrando:
x^3y = t^3tfract^22 =2t

Passo 3

A integral original torna-se
integralCx^3y,ds = integral0^22t,raiz1+t^2;dt

Passo 4

Fazemos a substituição u=1+t^2, de modo que du=2t,dt. Quando t=0, u=1, e quando t=2, u=5. Assim
integral0^22t,raiz1+t^2,dt = integral1^5u^1/2,du = [23u^3/2]1^5 = 23l(5^3/2-1r) = 23l(5raiz5-1r)

Resposta

23l(5raiz5-1r)

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