Questão 1. [10 pontos] Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um problema de valor inicial com a equação diferencial $ y^{\prime} = \frac{2x}{y + x^{2}y} $ e a condição inicial $ y(0) = -2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações separáveis. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. A equação é:
Podemos fatorar $ y $ no denominador:
Isso nos ajuda a identificar que a equação é separável, ou seja, podemos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ y $ e por $ dx $ para isolar $ y $ de um lado e $ x $ do outro:
Dessa forma, temos todas as $ y $ de um lado e todas as $ x $ do outro, pronto para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
À esquerda:
À direita:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $. A integral se torna:
Então, juntando tudo:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = -2 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -2 $ na equação:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Finalmente, isolando $ y $:
Resposta
A solução para o problema de valor inicial é: