Calcule a massa da esfera de raio 1 , centrada na origem, com densidade \rho(x, y, z)= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma esfera de raio 1 centrada na origem, cuja densidade em cada ponto (x,y,z) vale \rho(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. O conteúdo é cálculo de massa por integração tripla e vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

A fórmula da massa é
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Em coordenadas esféricas temos x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi, densidade \rho=r, e elemento de volume dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Os limites são
0\le r\le1,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.
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M = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} r\;\bigl(r^2\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} r^3\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{1} r^3\,dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Agora a parte angular separa-se em duas integrais:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = 2, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
O produto dessas duas é 2\times2\pi =4\pi.

Passo 5

Multiplicando o resultado radial \tfrac14 pelo resultado angular 4\pi, obtemos
M = \frac{1}{4}\times4\pi = \pi.

Resposta

\pi

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