Questão-08. Sejam a reta r:(t,-t, 2 t) ; t \in R e o plano \pi: x+y-z=0 do \mathrm{R}^{3}. Determine:
a) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano \pi, usando teorias de Geometria Analítica
b) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano \pi, usando teoria de Álgebra Linear
c) Determine o ângulo formado pela reta r e sua projeção r’ sobre o plano
d) A reflexão da reta r em relação ao plano \pi

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e das perguntas):
  • Reta r dada em forma paramétrica por pontos (t,-t,2t) com t\in\mathbb{R}. Ou seja, qualquer ponto de r é
P(t) = (t,\,-t,\,2t).
  • Plano \pi dado pela equação
x+y-z=0.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a projeção ortogonal da reta r sobre o plano \pi usando Geometria Analítica;
    (b) Determinar a projeção ortogonal da reta r sobre o plano \pi usando Álgebra Linear;
    (c) Determinar o ângulo formado entre a reta r e sua projeção r' sobre o plano;
    (d) Determinar a reflexão da reta r em relação ao plano \pi.
Informações úteis extraídas do enunciado que usaremos:
  • Um vetor normal ao plano \pi é \displaystyle n=(1,1,-1), porque a equação do plano é n\cdot(x,y,z)=0.
  • A reta r passa pela origem (verificando P(0)=(0,0,0)), e tem vetor diretor
\displaystyle v=(1,-1,2)
(obtido comparando (t,-t,2t)=t(1,-1,2)).
  • Para projeção ortogonal e reflexão usaremos fórmulas envolvendo o produto escalar n\cdot v e a norma \|n\|^2. Aqui
\|n\|^2 = 1^2+1^2+(-1)^2 = 3.

Passo 2

(a) Projeção ortogonal da reta r sobre \pi — via Geometria Analítica (método por pontos):
Explicando a ideia (passo a passo e de forma didática): projetar ortogonalmente uma reta sobre um plano significa projetar cada ponto da reta sobre o plano na direção perpendicular ao plano (isto é, na direção do vetor normal n). Para um ponto P qualquer, a projeção ortogonal P' no plano \pi (com equação n\cdot x=0) é dada pela fórmula
P' = P - \frac{n\cdot P - d}{\|n\|^2}\,n,
onde d é o termo da equação do plano n\cdot x = d. No nosso caso d=0, então a fórmula simplifica para
P' = P - \frac{n\cdot P}{\|n\|^2}\,n.
Vou aplicar a fórmula ponto a ponto para P(t)= (t,-t,2t).
  1. Calcular n\cdot P(t):
n\cdot P(t) = (1,1,-1)\cdot(t,-t,2t) = t + (-t) + (-1)\cdot 2t = -2t.
  1. Usar \|n\|^2=3. Assim
\frac{n\cdot P(t)}{\|n\|^2} = \frac{-2t}{3}.
  1. Então a projeção de P(t) é
P'(t) = P(t) - \frac{-2t}{3}\,n = P(t) + \frac{2t}{3}\,n.
Agora calculo coordenada a coordenada:
P'(t) = (t,-t,2t) + \frac{2t}{3}(1,1,-1) = \Big(t+\frac{2t}{3},\; -t+\frac{2t}{3},\; 2t-\frac{2t}{3}\Big).
Simplificando cada componente:
P'(t) = \Big(\frac{5t}{3},\; -\frac{t}{3},\; \frac{4t}{3}\Big).
  1. Conclusão (forma mais conveniente): a projeção é uma reta que passa pela origem (pois para t=0 obtém-se a origem) e tem vetor diretor proporcional a \Big(\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\Big). Multiplicando por 3 para simplificar, um vetor diretor inteiro é
v'=(5,-1,4).
Portanto a projeção ortogonal r' pode ser escrita como
r':\\ (x,y,z)=\lambda(5,-1,4),\quad \lambda\in\mathbb{R},
ou, em paramétrica análoga à original,
r':\\ \big(\tfrac{5t}{3},-\tfrac{t}{3},\tfrac{4t}{3}\big),\\ t\in\mathbb{R}.

Passo 3

(b) Projeção ortogonal da reta r sobre \pi — via Álgebra Linear (método por operador de projeção):
Explicando a teoria: em Álgebra Linear a projeção ortogonal sobre um subespaço (aqui o plano \pi) é uma aplicação linear. Para projetar ortogonalmente um vetor sobre o plano cujo vetor normal é n, a matriz (operador) de projeção ortogonal sobre o plano é
P = I - \frac{n n^{T}}{\|n\|^{2}},
onde I é a matriz identidade e n n^{T} é o produto externo que gera uma matriz 3\times3. Aplicar P a qualquer vetor dá sua projeção ortogonal no plano.
No nosso caso n=(1,1,-1) e \|n\|^2=3. Vou aplicar P ao vetor diretor da reta v=(1,-1,2). (Como a reta passa pela origem, projetando o vetor diretor basta para obter a direção da reta projetada.)
  1. Calcular n\cdot v:
n\cdot v = (1,1,-1)\cdot(1,-1,2) = 1 -1 -2 = -2.
  1. A aplicação P age assim sobre v:
P v = v - \frac{n(n\cdot v)}{\|n\|^{2}} = v - \frac{-2}{3}\,n = v + \frac{2}{3}n.
Isto é exatamente o mesmo passo algébrico que fizemos antes ponto a ponto. Calculando:
P v = (1,-1,2) + \frac{2}{3}(1,1,-1) = \Big(\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\Big).
  1. Multiplicando por 3 para ficar com coordenadas inteiras, obtemos o vetor diretor v'=(5,-1,4). Assim a projeção ortogonal é novamente
r':\\ (x,y,z)=\lambda(5,-1,4),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Comentário de método: o motivo pelo qual os dois métodos dão o mesmo resultado é que projetar ponto a ponto (Geometria Analítica) e projetar vetores por meio da matriz P (Álgebra Linear) são duas formas equivalentes de descrever a projeção ortogonal.

Passo 4

(c) Ângulo formado entre a reta r e sua projeção r':
Explicando a ideia: o ângulo entre duas retas que passam pela origem é o ângulo entre seus vetores diretores. Tomo v=(1,-1,2) para r e v'=(5,-1,4) para r' (pode usar qualquer scalar múltiplo). O cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta = \frac{v\cdot v'}{\|v\|\,\|v'\|}.
  1. Calcular o produto escalar v\cdot v':
v\cdot v' = (1)(5) + (-1)(-1) + (2)(4) = 5 + 1 + 8 = 14.
  1. Normas:
\|v\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{1+1+4}=\sqrt{6},
\|v'\| = \sqrt{5^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{25+1+16}=\sqrt{42}.
  1. Então
\cos\theta = \frac{14}{\sqrt{6}\sqrt{42}} = \frac{14}{\sqrt{252}}.
Observando que 252=36\cdot7 e \sqrt{252}=6\sqrt{7}, temos
\cos\theta = \frac{14}{6\sqrt{7}} = \frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{3},
pois \dfrac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}.
  1. Portanto o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\Big(\frac{\sqrt{7}}{3}\Big).
(se quiser uma aproximação numérica, \theta\approx 27{,}97^\circ ou \theta\approx 0{,}488\\ \text{rad}, mas a forma exata em arco-cosseno é mais elegante).

Passo 5

(d) Reflexão da reta r em relação ao plano \pi:
Explicando a fórmula: a reflexão ortogonal de um ponto P em relação a um plano com normal n e equação n\cdot x = d é
P_{\text{ref}} = P - 2\frac{n\cdot P - d}{\|n\|^2}\,n.
Como d=0 no nosso plano, isso fica
P_{\text{ref}} = P - 2\frac{n\cdot P}{\|n\|^2}\,n.
Aplicando ao ponto genérico P(t)=(t,-t,2t) (novamente n\cdot P(t)=-2t e \|n\|^2=3):
  1. Calcular o fator:
-2\frac{n\cdot P(t)}{\|n\|^2} = -2\frac{-2t}{3} = \frac{4t}{3}.
  1. Então a reflexão é
P_{\text{ref}}(t) = P(t) + \frac{4t}{3}\,n = (t,-t,2t) + \frac{4t}{3}(1,1,-1).
Calculo coordenada a coordenada:
P_{\text{ref}}(t) = \Big(t+\frac{4t}{3},\\\ -t+\frac{4t}{3},\\\ 2t-\frac{4t}{3}\Big) = \Big(\frac{7t}{3},\\ \frac{t}{3},\\ \frac{2t}{3}\Big).
  1. Multiplicando por 3 para vetor diretor inteiro, obtemos vetor diretor da reta refletida igual a (7,1,2). Assim a reta refletida r_{\text{ref}} pode ser escrita como
r_{\text{ref}}:\\ (x,y,z)=\mu(7,1,2),\quad \mu\in\mathbb{R},
ou em forma paramétrica semelhante:
r_{\text{ref}}:\\ \big(\tfrac{7t}{3},\tfrac{t}{3},\tfrac{2t}{3}\big),\\ t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) r':\\ (x,y,z)=\lambda(5,-1,4),\\ \lambda\in\mathbb{R}
(b) r':\\ (x,y,z)=\lambda(5,-1,4),\\ \lambda\in\mathbb{R}
(c) \theta=\operatorname{arccos}\!\Big(\dfrac{\sqrt{7}}{3}\Big)
(d) r_{\text{ref}}:\\ (x,y,z)=\mu(7,1,2),\\ \mu\in\mathbb{R}

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