Questão-08. Sejam a reta
e o plano
do
. Determine:
a) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano
, usando teorias de Geometria Analítica
b) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano
, usando teoria de Álgebra Linear
c) Determine o ângulo formado pela reta r e sua projeção r’ sobre o plano
d) A reflexão da reta r em relação ao plano
a) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano
b) A projeção ortogonal da reta r sobre o plano
c) Determine o ângulo formado pela reta r e sua projeção r’ sobre o plano
d) A reflexão da reta r em relação ao plano
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e das perguntas):
- Reta
dada em forma paramétrica por pontos com . Ou seja, qualquer ponto de é
- Plano
dado pela equação
- Perguntas:
(a) Determinar a projeção ortogonal da retasobre o plano usando Geometria Analítica;
(b) Determinar a projeção ortogonal da retasobre o plano usando Álgebra Linear;
(c) Determinar o ângulo formado entre a retae sua projeção sobre o plano;
(d) Determinar a reflexão da retaem relação ao plano .
Informações úteis extraídas do enunciado que usaremos:
- Um vetor normal ao plano
é , porque a equação do plano é . - A reta
passa pela origem (verificando ), e tem vetor diretor
(obtido comparando
).
- Para projeção ortogonal e reflexão usaremos fórmulas envolvendo o produto escalar
e a norma . Aqui
Passo 2
(a) Projeção ortogonal da reta
sobre
— via Geometria Analítica (método por pontos):
Explicando a ideia (passo a passo e de forma didática): projetar ortogonalmente uma reta sobre um plano significa projetar cada ponto da reta sobre o plano na direção perpendicular ao plano (isto é, na direção do vetor normal
). Para um ponto
qualquer, a projeção ortogonal
no plano
(com equação
) é dada pela fórmula
onde
é o termo da equação do plano
. No nosso caso
, então a fórmula simplifica para
Vou aplicar a fórmula ponto a ponto para
.
- Calcular
:
- Usar
. Assim
- Então a projeção de
é
Agora calculo coordenada a coordenada:
Simplificando cada componente:
- Conclusão (forma mais conveniente): a projeção é uma reta que passa pela origem (pois para
obtém-se a origem) e tem vetor diretor proporcional a . Multiplicando por para simplificar, um vetor diretor inteiro é
Portanto a projeção ortogonal
pode ser escrita como
ou, em paramétrica análoga à original,
Passo 3
(b) Projeção ortogonal da reta
sobre
— via Álgebra Linear (método por operador de projeção):
Explicando a teoria: em Álgebra Linear a projeção ortogonal sobre um subespaço (aqui o plano
) é uma aplicação linear. Para projetar ortogonalmente um vetor sobre o plano cujo vetor normal é
, a matriz (operador) de projeção ortogonal sobre o plano é
onde
é a matriz identidade e
é o produto externo que gera uma matriz
. Aplicar
a qualquer vetor dá sua projeção ortogonal no plano.
No nosso caso
e
. Vou aplicar
ao vetor diretor da reta
. (Como a reta passa pela origem, projetando o vetor diretor basta para obter a direção da reta projetada.)
- Calcular
:
- A aplicação
age assim sobre :
Isto é exatamente o mesmo passo algébrico que fizemos antes ponto a ponto. Calculando:
- Multiplicando por
para ficar com coordenadas inteiras, obtemos o vetor diretor . Assim a projeção ortogonal é novamente
Comentário de método: o motivo pelo qual os dois métodos dão o mesmo resultado é que projetar ponto a ponto (Geometria Analítica) e projetar vetores por meio da matriz
(Álgebra Linear) são duas formas equivalentes de descrever a projeção ortogonal.
Passo 4
(c) Ângulo formado entre a reta
e sua projeção
:
Explicando a ideia: o ângulo entre duas retas que passam pela origem é o ângulo entre seus vetores diretores. Tomo
para
e
para
(pode usar qualquer scalar múltiplo). O cosseno do ângulo
entre eles é
- Calcular o produto escalar
:
- Normas:
- Então
Observando que
e
, temos
pois
.
- Portanto o ângulo é
(se quiser uma aproximação numérica,
ou
, mas a forma exata em arco-cosseno é mais elegante).
Passo 5
(d) Reflexão da reta
em relação ao plano
:
Explicando a fórmula: a reflexão ortogonal de um ponto
em relação a um plano com normal
e equação
é
Como
no nosso plano, isso fica
Aplicando ao ponto genérico
(novamente
e
):
- Calcular o fator:
- Então a reflexão é
Calculo coordenada a coordenada:
- Multiplicando por
para vetor diretor inteiro, obtemos vetor diretor da reta refletida igual a . Assim a reta refletida pode ser escrita como
ou em forma paramétrica semelhante:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)