Calcule a massa de ar existente no interior de uma bolha de água com sabão, com diâmetro \mathrm{d}=10 \mathrm{~cm}, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Considere \sigma=0,025 \mathrm{~N} / \mathrm{m} para a tensão superficial da água com sabão. Considere Patm =101,35 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O enunciado pede a massa de ar dentro de uma bolha esférica de diâmetro d=0,10\\ \mathrm m à temperatura de 20^\circ\mathrm C, sabendo que a tensão superficial da água com sabão é \sigma=0,025\\ \mathrm{N/m}. Vamos usar a fórmula da diferença de pressão num filme duplo (bolha) e a equação de estado dos gases ideais.

Passo 2

Para uma bolha com duas superfícies, a pressão interna P_{\rm in} excede a pressão externa P_{\rm atm} em
\Delta P = P_{\rm in}-P_{\rm atm} = \frac{4\,\sigma}{R},
em que R é o raio da bolha. Como d=0,10\\ \mathrm m, temos
R = \frac{d}{2} = 0,05\\ \mathrm m,
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\Delta P = \frac{4\times0,025}{0,05} = 2\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Assim,
P_{\rm in} = P_{\rm atm} + \Delta P = 101\,350\\ \mathrm{Pa} + 2\\ \mathrm{Pa} = 101\,352\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Para o ar ideal, a densidade é
\rho = \frac{P_{\rm in}\,M}{R_u\,T},
onde M=0,029\\ \mathrm{kg/mol} é a massa molar do ar, R_u=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e
T = 20^\circ\mathrm C + 273 = 293\\ \mathrm K.
Substituindo,
\rho = \frac{101\,352\times0,029}{8,314\times293}\approx1,21\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

O volume da bolha é o de uma esfera de raio R:
V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\,(0,05)^3 \approx5,24\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Finalmente, a massa de ar no interior é
m = \rho\,V \approx1,21\\ \mathrm{kg/m^3}\times5,24\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} \approx6,3\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

A massa de ar na bolha é aproximadamente 6,3\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.

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