Dois cilindros concêntricos têm comprimento L=1,5 \mathrm{~m} e raios de 40 mm e 42 mm . O espaço compreendido entre eles está cheio com um óleo de viscosidade \mu=0,15 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2}. Calcule o torque necessário para manter o giro do cilindro interno a uma velocidade \Omega=420 \mathrm{rpm}, sendo que o cilindro externo está fixo. Faça a análise a partir da lei da viscosidade de Newton.

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros concêntricos de comprimento L=1{,}5 m, raios interno R_i=40 mm e externo R_o=42 mm, com óleo de viscosidade \mu=0{,}15 N s/ m^{2} no entreferro. O cilindro interno gira a \Omega=420 rpm e o externo está preso. Precisamos usar o escoamento de Couette cilíndrico (lei de Newton) para calcular o torque resistente T.

Passo 2

Em regime permanente, o campo de velocidades azimutais só depende de r e satisfaz a equação de Navier–Stokes simplificada, cuja solução geral é
v_\theta(r)=A\,r \;+\;\frac{B}{r}\,,
onde A e B são constantes obtidas pelas condições na fronteira.

Passo 3

As condições de contorno são
v_\theta(R_i)=\Omega\,R_i, \qquad v_\theta(R_o)=0.
Logo
A\,R_i + \frac{B}{R_i}=\Omega R_i, \quad A\,R_o + \frac{B}{R_o}=0.
Resolvendo esse sistema dá
A=-\frac{\Omega\,R_i^2}{R_o^2-R_i^2}, \quad B=\frac{\Omega\,R_i^2\,R_o^2}{R_o^2-R_i^2}\,.

Passo 4

A tensão de cisalhamento em coordenadas cilíndricas é
\tau_{r\theta} =\mu\Bigl(\frac{dv_\theta}{dr}-\frac{v_\theta}{r}\Bigr)
e no raio r=R_i vale
\tau_{r\theta}(R_i) =-2\mu\frac{B}{R_i^2}\,.
O torque resultante no cilindro interno é
T =\bigl|\tau_{r\theta}(R_i)\bigr|\,(2\pi R_i L)\,R_i =4\pi\mu\,L\,B
e, substituindo B, obtemos a fórmula fechada
T =4\pi\,\mu\,L\,\Omega\, \frac{R_i^2\,R_o^2}{R_o^2-R_i^2}\,.

Passo 5

Convertemos \Omega para rad/s:
\Omega =420\,\text{rpm} =\frac{420}{60}\,2\pi =14\pi\;\text{rad/s}.
Agora substituímos valores (em metros):
R_i=0{,}04,\; R_o=0{,}042,\; \mu=0{,}15,\; L=1{,}5,\; \Omega=14\pi.
Calculando
T =4\pi\cdot0{,}15\cdot1{,}5\cdot14\pi\; \frac{(0{,}04)^2\,(0{,}042)^2}{(0{,}042)^2-(0{,}04)^2} \approx2{,}14\;\text{N\cdotm}.

Resposta

O torque necessário é aproximadamente 2{,}14 N\cdot m.

Exercícios relacionados