Calcule a massa do fio gamma(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= pi, com densidade linear de<a(x, y, z)=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa do fio parametrizado por gamma(t)=(cos t,sen t,t), para 0<= t<= pi, com densidade linear de<a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.
O conteúdo é integral de linha para massa de curva em R^3. Vamos usar a fórmula
massa=integralgamma de<a,ds
e, em parametrização,
ds=|gamma'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de gamma e seu módulo.
gamma'(t)=(-sen t,cos t,1)
Como sen^2t+cos^2t=1, temos
|gamma'(t)|=raiz(-sen t)^2+(cos t)^2+1^2 =raiz1+1 =raiz2

Passo 3

Agora avaliamos a densidade ao longo da curva:
de<al(gamma(t)r) =(cos t)^2+(sen t)^2+t^2 =1+t^2

Passo 4

A massa é
integral0^pide<al(gamma(t)r),|gamma'(t)|,dt =integral0^pi(1+t^2),raiz2;dt =raiz2,integral0^pi(1+t^2),dt
Integramos:
integral0^pi(1+t^2),dt =[t+t^33]0^pi =pi+pi^33

Passo 5

Portanto a massa do fio vale
raiz2,l(pi+pi^33r) =raiz2,pil(1+pi^23r)

Resposta

massa=raiz2,l(pi+pi^33r) ou raiz2,pil(1+pi^23r)

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