Esboce o gráfico das seguintes funções:
z=f(x, y)=x-y+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função z = f(x,y) = x - y + 2. O conteúdo é superfícies em R^3, mais precisamente a representação de um plano, e vamos precisar usar conceitos de equação geral de plano, vetor normal e interceptos com os eixos.

Passo 2

Observando que z = x - y + 2 é uma equação linear em x,y,z, concluímos que o gráfico é um plano em R^3. Para vê-lo na forma geral Ax + By + Cz + D = 0, reescrevemos como x - y - z + 2 = 0. O vetor normal a esse plano é dado por n = (A,B,C) = (1,-1,-1).

Passo 3

Para ter um esboço, encontramos as interseções desse plano com os eixos coordenados. No eixo x colocamos y=0 e z=0 e obtemos
0 = x - 0 + 2 implies x = -2
No eixo y colocamos x=0 e z=0 e obtemos
0 = 0 - y + 2 implies y = 2
No eixo z colocamos x=0 e y=0 e obtemos
z = 0 - 0 + 2 = 2

Passo 4

Com os pontos de intercepto (-2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2) já podemos esboçar o plano. Basta plotar esses três pontos no sistema xyz e desenhar o triângulo que eles formam; o plano será a extensão infinita dessa face.

Passo 5

No esboço, marcamos os eixos x,y,z, plotamos os pontos (-2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2) e ligamos formando uma região triangular. Em seguida, estendemos as bordas desse triângulo para visualizar todo o plano.

Passo 6

Opcionalmente, usamos o vetor normal (1,-1,-1) para verificar a inclinação: ele indica que o plano sobe na direção positiva de x, desce na de y e desce na de z, conferindo o aspecto de rampa em 3D.

Resposta

O gráfico de z = x - y + 2 é um plano que intersecta os eixos em (-2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Para esboçá-lo basta marcar esses pontos no sistema xyz e traçar o plano que passa por eles.

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