Calcule a massa do fio sigma(t)=(t, 2 t, 3 t), 0 <= t <= 1, cuja densidade linear é f(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
sigma(t) = (t,,2t,,3t), 0<= t<=1,
e a densidade linear f(x,y,z)=x+y+z.
Queremos a massa do fio, dada pela integral de linha
m = integralC f,ds
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização e seu módulo:
sigma'(t) = (1,,2,,3),
então
llVertsigma'(t)rrVert = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz14
Logo ds = raiz14,dt.

Passo 3

Expressar a densidade ao longo da curva:
fl(sigma(t)r) = t + 2t + 3t = 6t
Assim o integrando fica
fl(sigma(t)r),llVertsigma'(t)rrVert = 6t ,raiz14

Passo 4

Montar e calcular a integral de t de 0 a 1:
m = integral0^1 6t,raiz14,dt = 6raiz14,integral0^1 t,dt = 6raiz14,[t^22]0^1 = 6raiz14,cdot12 = 3raiz14

Resposta

A massa do fio é 3raiz14.

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